前回記した通り、今年の都立日比谷においては難問レベルの出題はありませんでした。 但し、誘導設問さえなければ、 「どれだけ短時間で気づけたか」 を評価できる内容になっていたであろう出題はありました。 難問というほどではないものの、 「制限時間内に…

主に上位校入試でよく出題される“軌跡問題”です。 難問レベルではありませんが、「点」と「線分」の両方の軌跡の求め方の復習にはなるでしょう。 【問題】 AB=4,AD=AE=2√3である直方体ABCD-EFGHがある。 辺DC上に点Qがあり、AQ=4である。 点Pが、AP=4を満た…

円問題への取り組み方については、今まで様々なパターンで練習してきたと思いますので、この問題をすんなり解くことができるか試してみましょう。 【問題】 線分ABを直径とする円の中心をOとする。 弧AB上に点Cを、弧AC＜弧CBとなるようにとる。 点Dを線分OB…

入試本番も間近に迫ってきたので、比を求める本格的な実践問題に取り組んでおきましょう。 今まで培った様々な知識を総動員させて、複合的に比を組み合わせて解く問題です。 “パッと見”だけでは筋道が見えてきにくいので、「いかに落ち着いて取り組むか」も…

受験生であれば、「円と相似」に関する多くの練習問題に取り組んできていると思います。 定番中の定番の問題なので、かなり慣れてきているはずですので、次の問題をサクッと解けるか試してみましょう。 時間がかかってしまうのであれば、特に上位校を狙って…

最近様々なスポーツ競技において、日本代表の活躍が華々しいこともあり、“にわかファン”もかなり増えてきていることでしょう。 きっかけはともあれ、そこから本格的なファンになって、各スポーツ競技を支えていってほしいと思います。 何らかの競技を行う場…

設定としては、前回の「円周を等分する点」の派生バージョンですが、別の分野の平面幾何問題となっています。 あまり見慣れない出題であるが故に、受験生の思考力を刺激するちょっとオモシロイ問題となっています。 【問題】 線分ABを直径とする半円があり、…

円周を等分する点を直線で結んでいくとどのような図形ができるか、任意の2点の間の円弧に対する円周角の大きさがどうなるか、いずれも受験生にとっては基本事項ですね。 それらの基本知識を元にして解く平面図形問題も、入試では定番です。 今回の問題は、実…

これまで、幾度となく 「過去問集の“模範解答”を鵜呑みにしないように！」 と警鐘を鳴らしてきました。 もちろん、大半は真っ当な解説ではあるのですが、中には「ん？」と感じる内容の解説が、さも当然のような顔をして“模範解答”として過去問集などに記され…

今年のある都立高校の入試問題なのですが、時間の制限をなくせば小学生でも解けると思います。一方高校受験生の場合は、アクロバティックに考え過ぎることで逆に解けなくなってしまう可能性もあるかもしれません。 ※小学生のために一つだけ補足しておくと、 …

今回は、“最大”となる条件設定の動点問題をやってみましょう。円関連の問題としては頻出分野なので、しっかり再確認しておきましょう。 【問題-1】 ∠B=90゜の△ABCがある。 頂点Bから辺ACに垂線をひき、その交点をDとすると、DB=3,CD=1である。 3点A,B,Cを通…

先日スタートした首都圏の中学入試問題から、高校入試用の練習になるような問題をピックアップしてみましょう。パッと見では「ん？」となるかもしれませんね。 【問題】 半径1の円3つが全て点Aを通るとき、図の太線部分の長さは？ 【解説】 “円弧の中心角”に…

円周上の点を結ぶと、 「どのような図形が形成されるのか」 という、 「円に関する基礎知識」 を問いながら、それに 「確率」 を絡めた定番問題です。なお、円周を等分（三等分以上）した点を全て結んでいけば、必ず正多角形が形成されますね。ですから、「…

実際の中学入試問題を中学生用に改題してみましたが、小学生でも解けないことはないと思います。円周率はπとして計算してみましょう。 【問題】 図のように、円周上に4点A,B,C,Dがあり、弧AB:弧BC:弧CD:弧DA=3:2:6:1である。 AB=10のとき、弦AB,弦CDと円弧と…

幾何パズルなどで見かけたことがある人も多い図形でしょう。「正方形に内接する円があり、その円にまた内接する正方形があり、その正方形に内接する…」 が繰り返される“入れ子”設定の問題です。順番に考えていけばいいだけですが、小学生だと若干混乱してし…

「三平方の定理」を出題範囲から除外して、一体どのような出題内容にするのだろうか？と思っていたら、例年通りの出題スタイルで「三平方」だけ除外された内容でしたね。但し、「三平方」を使うことで簡単に解いてしまうことがないように、よく練られた平面…

選択問題の【第5問】は平面幾何問題ですが、そのままの内容で、特に難関校をめざす中学生にピッタリの練習問題になるでしょう。「内・外接円」に関連した定番設問が、誘導を伴いながらズラッと並び、入試直前の理解度確認に適しています。詳しくは、新聞やネ…

今回の問題も今年の入試問題なのですが、これまた“面倒な解説”ばかりが巷に目につくので取り上げることにします。色々な補助線が引けるので、そういう意味では、受験生を引っ掛けやすい問題と言えるかもしれません。“難問”と評する解説もあるようですが、冷…

受験生であれば、この時期には、 「各種三角形の内・外接円の半径」 の求め方はマスターしていることと思います。これからの時期は、 「その方法を愚直に用いるべきか否か」 を、しっかり吟味してから取り組むようにしましょう。言うまでもなく、入試におい…

「問題文において与えられる条件」というものは、それが全て満たされることによって初めて「求めるものが限定」されるように設定されるべきでしょう。今回の千葉県立の問題は、「一般公立入試問題」ということもあって平易な内容にするためか、“余計な条件”…

「円と放物線」を絡めた定番問題も様々ありますが、今回はちょっと変わった趣向の問題です。 【問題】図のように、放物線のグラフ上の点A(1,1)と原点Oを通る直線をlとする。 点Aを通り直線lに垂直な直線mと放物線との交点のうち、A以外の点をBとする。 点Bを…

一見、 「長さに関する設定が何もない」 ように思えてしまうところが、この問題のちょっとオモシロイところです。 【問題】上図のように、長方形ABCDの各辺を直径とする半円を描き、その交点を結んで長方形EFGHをつくる。 このとき、長方形EFGHは長方形ABCD…

中3課程の「円に関する知識」があるならば、定番問題となります。但し、余計な遠回りだけは避けましょう。 【問題】1辺10の正方形ABCDの辺BC上にEC=2となる点Eをとり、対角線AC上にFB=FEとなる点Fをとる。 このとき、△CEFの外接円の半径を求めよ。 【解説】 …

「多面体の外接球」 とは、一般的には、 「多面体の全ての頂点と接する球」 と捉えるのが普通ですが、一応語義としては、 「多面体の外部に接する球」 という意味でしかないので、中には、 「部分的に外接する球」 のような設定の場合もあり得るので、与条件…

これも、「円」を題材とした総合問題ですが、設定がちょっとオモシロイのでやっておきましょう。小学生は、この設問に答えることはできませんが、 「この条件設定からわかること」 をできるだけ挙げてみましょう。例えば、 ・円の中心はどこになるか？ ・相…

相似、三平方、円関連の知識を駆使して解く総合問題です。実際の入試では、誘導設問が前段にあるのですが、「円問題」に取り組む練習として誘導なしでやってみましょう。 【問題】図のように、線分CEを直径とする円Oの円周上にA～Gの7つの点があり、 「AB〃G…

前回に引き続き、半円を題材とした、 「線分比～面積比の変換」 の練習問題です。必ずと言ってもいいくらい、どこかで見かけたことがある図だと思います。一般の県立入試問題ですが、「比の変換」ができないと、解けない可能性もあるでしょう。しかし、もう…

初めて熊本県出身の力士（正代）が優勝したことを祝して、熊本県立からの「半円」を題材とした面積比の問題です。実際の問題では、 「△AFD∽△CDE」 を証明させてからの設問となりますが、いきなりサクッと解けるか否かをチェックしてみましょう。 【問題】長…

「折り返し問題」でよくある出題パターンなので、解いたことがあるかもしれません。頻出しているのは、 「折り返した円弧が半円の中心を通る」 パターンですが、今回は少し違ったもので練習してみましょう。 【問題】長さ12の線分ABを直径とする半円がある。…

「三角形の内・外接円」 に関する問題は定番中の定番ですね。とは言え、通塾生などでないと、現段階では未習の場合が多いかもしれません。そこで、何とか解けるであろう問題をやってみましょう。 【問題】 座標平面上に、 A(-1,2),B(1,-1),C(4,1) の3点があ…