「整数問題」は、苦手とする生徒が多い出題分野です。
よって、力業で解こうとするお子さんも多いことでしょう。
しかし、様々な原理をしっかり理解できれば、取り組みやすくなるはずです。
難関中・高・大をめざすならば、
「整数問題を克服することは必須」
といっても過言ではないでしょう。
下記の問題は、中学入試(2017鴎友学園女子中)で出題された問題ですが、若干アレンジすれば高校入試にも使える問題になります。
【問題】
整数Aで39,81,111をそれぞれ割ったら余りが等しくなった。最大の整数Aとその余りは?
【解答(初級編)】
小学生が解くならば、まず棒グラフのような図を描いて考えましょう。
そうすると、「各数の差」が何を表しているか見えてきませんか?
(余りの部分の末端を揃えた棒グラフにすると・・・、見えてきましたか?)
図とにらめっこしていると、
“「各数の差」は「Aの倍数」”
となることが見えてくると思います。
ここまでわかったら、
「最大のAは(42,30,72)の最大公約数」
であるはずですね。
つまり、「最大のA=6、余りは3」と求まります。
【解答(上級編)】
中3生くらいならば、「合同式」を用いて解けるようにしておくといいでしょう。
(※冬休み頃までにマスターできればいいので焦る必要はありません。)
余りをmとすると(0≦m<A)、
39≡81≡111≡m (mod A)
これらを辺々引いて
42≡30≡72≡0 (mod A)
つまり、
「AはG.C.D.(42,30,72)=6の約数」
とわかります。
これより、
最大の整数A=6で余りは3
と求まりますね。