数学カフェjr.

「知っておいてほしい」又は「ちょっとオモシロイ」初等数学を、高校受験をする又は中高一貫校在学の中学生を中心に、小学生~大人の方に向けてお伝えしていきます。

平方根と確率(2018都立国立)

確率の問題も、解き進める方針をしっかり定めてから臨まないと、“漏れなく重複なく”数えあげることが難しくなってしまいます。


【問題】
1~8の整数が1つずつ書かれた8枚のカードが入っている袋がある。

この袋から1枚のカードを取り出して戻す作業を2回繰り返す。

1回目、2回目に取り出したカードに書かれた整数を順にm,nとするとき、
900/√(mn)が整数となる確率は?


【解答】
まずはmnの値の範囲を、
「1×1≦mn≦8×8」
としっかり把握しておきます(鉄則!)。

次に900=2×2×3×3×5×5と素因数分解します。

これより、
「900/√(mn)が整数となる」
ためには、
「mnが平方数かつ√(mn)が900の約数」
となる必要があります。


ここまでくれば、後は“漏れなく重複なく”数えあげるだけです。

mn=1のとき~(m,n)=(1,1)

mn=4のとき~(1,4),(2,2),(4,1)

mn=9のとき~(3,3)

mn=16のとき~(2,8),(4,4),(8,2)

mn=25のとき~(5,5)

mn=36のとき~(6,6)

(※mn=49,64のときは題意を満たさないことに注意。)

∴確率は10/8×8=5/32


確率の問題は、1つでもカウントミスがあれば0点です。

小問集合では確実に点を確保したいので、正確かつ素早く求める練習を積んでおきましょう。