数学カフェjr.

「知っておいてほしい」又は「ちょっとオモシロイ」初等数学を、高校受験をする又は中高一貫校在学の中学生を中心に、小学生~大人の方に向けてお伝えしていきます。

等積図形(2018城北, 慶應義塾志木)

受験算数でよくある問題なので、小学生にも解けると思います。

「A=BならばA+C=B+C」という基本に立ち返りましょう。


【問題-1】

1辺8の正方形ABCDで、
BE=3,DF=2,△BEH=△FGHのとき、
DGの長さは?
(2018城北)


【解説-1】
△BEHと△FGHに隣接する“共通な図形”を加えて考えてみましょう。

この場合は“四角形AEHF”を双方に加えて考えれば、
「△ABF=四角形AEGF」
となりますね。

DG=xとおくと、
6×8×1/2=8(x+5)/2 - 2x/2
∴DG=x=4/3



では、応用編の一例です。


【問題-2】

原点を通る放物線上に3点A(-3,27),B(3,27),Cがある。
直線BC(傾きa)は「放物線と直線ABとで囲まれた図形」の面積二等分線。
直線AB,直線BCとy軸との交点をD,Eとする。
このとき「図形OCE(斜線部分)」の面積をaを用いて表せ。
(2018慶應義塾志木


「放物線をアウトラインとする図形」の面積は、小・中学生には求められません。

よって、何らかの“変換”が必要だとわかるはずです。


【解説-2】
積分の知識は必要なく、「等積図形」を応用して変換すれば解けますね。

この放物線は
「y軸に関して対称」
であることをまず再確認しましょう。

つまり、
「図形OBC」=「図形OBD」
ですね。

「図形OBE」が共通部分なので、
「図形OCE」=△BDE
だとわかります。

∴3×3a×1/2=9a/2