数学カフェjr.

「知っておいてほしい」又は「ちょっとオモシロイ」初等数学を、高校受験をする又は中高一貫校在学の中学生を中心に、小学生~大人の方に向けてお伝えしていきます。

正方形に内接する直角三角形(ラ・サール/改題)

「相似」を習った小学生ならばできる問題ですが、苦手な人は時間がかかるかもしれません。


【問題】

1辺の長さ8の正方形ABCDで、
AE:EF=4:3,∠AEF=90°のとき、
△CEFの面積は?


【解説】
△ABEと△ECFに着目したとき、

∠ABE=∠ECF=90°
∠BAE=∠CEF
(または∠AEB=∠EFC)

となるので、
「△ABEと△ECFは相似である(△ABE∽△ECF)」
と言えますね。

ここで「AE:EF=4:3」より、
△ABEと△ECFにおける対応する辺どうしの比(相似比)は「4:3」とわかります。

よって、
AB:EC=BE:CF=4:3より、
EC=8×3/4=6
BE=8-6=2
CF=2×3/4=3/2

∴△CEF=6×3/2×1/2=9/2


なお、定番の“図形の折り返し”問題でも「相似」が鍵でしたね。