「特殊な立体の体積を求める力」をみるための定番問題で、現在の力を確認しておきましょう。
実際の高校入試で、ほぼ同内容で出題されたものですが、高学年の小学生ならば十分に解けるはずです。
但し、できるだけ手間をかけないで求める方法を探りましょう。
【問題】
AB=4,AD=3,AE=10の透明な直方体の容器がある。
この容器に水を入れ傾けたら、図のようになった。
点P,Q,R,S,Tは、
それぞれ辺EF,BF,CG,DH,EH上の点で、
PF=3,QF=2,RG=4となった。
この水の容積を求めよ。
(※容器の厚さは考えないものとする。)
(答え;181/9)
【解説】
まず、“直方体の切断”の原理から、
「HS=4/3,HT=2」
と求まりますね。
そして正攻法だと、この“水”を次の3つの錐体に分割して考えるでしょう。
「四角錐P-FGRQ」
「三角錐R-GTP」
「四角錐T-GHSR」
どれも計算は楽なので、この方法でも構わないでしょう。
しかし、次のような考え方があることも知っておきましょう。
3×4×4の直方体EFGH-IJRKから、余計な立体の体積(V)を取り除く方法です。
まず、
「直線QPと直線STの交点は直線AE上に存在」
しますね(点Uとします)。
EP=ET=1より、EU=2/3とわかります。
するとVは、
「3×4×(4+2/3)の直方体の半分」
から、
「三角錐U-EPT」
を取り除けば求まりますね。
よって、
V=3×4×(4+2/3)×1/2-1×1×1/2×2/3×1/3=251/9
と求まるので、
∴3×4×4-251/9=181/9
以前、古典問題を用いて説明した内容を、応用した解法となります。