数学カフェjr.

「知っておいてほしい」又は「ちょっとオモシロイ」初等数学を、高校受験をする又は中高一貫校在学の中学生を中心に、小学生~大人の方に向けてお伝えしていきます。

正四角錐の外接球

「多面体の外接球」
とは、一般的には、
「多面体の全ての頂点と接する球」
と捉えるのが普通ですが、一応語義としては、
「多面体の外部に接する球」
という意味でしかないので、中には、
「部分的に外接する球」
のような設定の場合もあり得るので、与条件はしっかり確認しましょう。

また、「正四角錐」も一般的には、
「正方形の重心の真上に頂点がある四角錐」
と捉えることが多いですが、これも、
「1つの面が正方形の四角錐」
と捉えることもできるので、一応注意しておきましょう。

※但し、良心的な問題においては、誤解を生まないような説明が必ず施されているはずです。


【問題】
1辺12の正方形ABCDを底面とし高さが12の正四角錐P-ABCDがある。
PA=PB=PC=PDとするとき、この立体の全ての頂点と接する球の半径を求めよ。


(答え;9)


【解説】
この問題は、例えば、
「△PACの外接円の半径」
を求めることと同じですね。

「外接球の中心をO」
とし、正四角錐P-ABCDの縦断面である、
「△PAC」
を用いて考えてみましょう。

f:id:booterpig:20201017104450j:plain

「点Pから線分ACへ下ろした垂線の足をQ」、
「点Oから線分APへ下ろした垂線の足をR」
とすると、
「△OAQで三平方」
もしくは、
「△PAQ∽△POR」
を用いて方程式を立てれば、簡単に
「外接球の半径(OA,OP)」
は求められますね。