数学カフェjr.

「知っておいてほしい」又は「ちょっとオモシロイ」初等数学を、高校受験をする又は中高一貫校在学の中学生を中心に、小学生~大人の方に向けてお伝えしていきます。

展開図→立体組み立て→“ひもかけ”問題(2020神奈川県立)

つい先日の神奈川県立入試問題からの出題です。

全く何の関係もない学校どうしであるのに、なぜか同じ年の入試問題の傾向がシンクロしてしまうことがあります。

都立受験に向けて頑張っている皆さんも、解いておくと役立つことがあるかもしれません。


【問題】

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五角形ABCDEは三角錐の展開図であり、AB=BC=CD=DE=EA=6,∠B=∠C=90゜である。
線分BCの中点をFとし、線分AF,DFの中点をそれぞれG,Hとする。
この展開図から、線分AF,FD,DAを折り目として、3点B,C,Eが1点(I)に集まるように三角錐IAFDを組み立てる。

(1)この三角錐の表面積を求めよ。

(2)この三角錐の体積を求めよ。

(3)この三角錐の表面上を、点Gから辺AI,DIと交わるように点Hまでひもをかけるとき、ひもの最短の長さを求めよ。但し、ひもの太さは考えないものとする。

(※文章表現のみ改題)


(1),(2)をサッと解いて、(3)をいかに簡単に求めるかがポイントですね。
(目標時間:8分以内)


【解説】
(1)
五角形ABCDEの面積を求めればよいので、
∴36+9√3

(2)
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面ADIと辺FIは、
「直線と平面の直交条件」
を満たすので、
∴9√3

カテゴリー[都立入試問題]新設しました

都立高校入試対策として重要であろうと思われたので、昨日「“頻出”四面体問題(2019都立日比谷)」を再投稿しました。

しかし、再投稿では中々皆さんに伝わらないので、都立高校入試関連の新たなカテゴリーを設けることにしました。

[都立入試問題]というカテゴリーに、入試問題の解説や、進学指導重点校などの「入試問題(2019)概観」がまとめてあります。

入試問題概観では、
「どのような順番で解き進め、どの問題を得点につなげるべきか」
を解説してあります。

あと数日しかありませんが、何かの参考になれば幸いです。


※ここで、入試本番での注意点を一つお伝えしておきます。

時に、「条件設定・説明が長文となる問題」がありますね。

制限時間と格闘している中で、このような問題を避けたい気持ちはよくわかります。

しかし、このような問題の小問(1),(2)あたりは、簡単に答えを出せるようなものが多いことも覚えておきましょう。

つまり、最初から“全捨て”すると、自分が損をするだけなので絶対にやめましょう。

まず、何回も読む余裕はないでしょうから、1回で理解するように集中して読み込む必要があります。

但し、
「どうせ捨てるだろうし・・」
と、後ろ向きな気持ちで長文説明を読んでいっては時間の無駄になるだけです。

「少しでも解いて得点につなげるぞ!」
との前向きな気持ちで、集中して長文を読んでいきましょう。

そして、時には、
「何という悪問・・」
という場合もあり得ますから、そう判断したらスパッと捨ててしまえばいいでしょう。
(以前は実際にありましたが、まずないと思います。)

頻出立体問題の最終確認

今年の出題内容も注目される「ある都立高校」の入試問題を使って、頻出している立体問題の解き進め方を再確認しておきましょう。

解いたことがある人も多いと思いますが、解き進め方がサッと思い浮かべば、不安なく本番に臨めるでしょう。

トップクラスをめざすのであれば、“瞬殺”に近いかたちで解けるようにしておくべきでしょう。


【問題】

AB=4,AD=8,AE=3の直方体ABCD-EFGHがある。
辺AB,AD,FG,BC上にある点をそれぞれP,Q,R,Sとする。

(1)
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DQ=GR,△PQRが正三角形」のとき、線分APの長さを求めよ。

(2)
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「AP=2,DQ=CS=GR=16/3,PQ〃HR」のとき、立体S-PQHRの体積を求めよ。



【解説】

(1)
まず題意より、
「正三角形の1辺の長さは5」
とすぐにわかりますね。

後は、AP=xとおいて方程式を立てればいいですね。

「線分PRの長さ」
に着目して、
(4-x)の2乗+9+(25-xの2乗)=25
より、
∴x=25/8=AP


(2)
これは“瞬殺”できなければいけない問題です。

∴S-PQHR=△QRS×8×1/3=16

このタイプの立体の求積問題が頻出しており、これをいかに短時間に解ききるかが、合否にも大きく影響してくるでしょう。



(2019都立新宿)

立方体の切断(“面”上の3点を通る平面による)

入試前の最終問題は、立体問題の題材となる可能性の高い「立方体」にしましょう。


「“辺”上の3点を通る平面」
による切断は、準備万端だと思います。

そこで視点を変えて、
「“面”上の3点を通る平面」
による切断をやっておきましょう。


なお、当初から伝えてきたように、
「正多面体に親しんできた」
ならば、さほど難しくは感じないはずです。



【問題】

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1辺8の立方体ABCD-EFGHがある。
線分AC,AF,AH上にある点をそれぞれP,Q,Rとし、その3点P,Q,Rを通る平面で立方体を切断する。
その際にできた立方体の切断面を底面とし、点Aを頂点とする錐体の体積を、次の各々の場合について求めよ。

(1)3点P,Q,Rが、それぞれ線分AC,AF,AHの中点である場合

(2)3点P,Q,Rが、それぞれ線分AC,AF,AHを7:1に内分する場合



【解説】

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(1)
「3点B,D,Eを通る平面」
で切断すれば、題意を満たしますね。
∴8×8×1/2×8×1/3=256/3


(2)
「(1)の切断面BDEと平行な切断面」
を考えていけばよいので、図のように
「六角形の切断面」
となることがわかります。

この六角形は、
「1辺10√2の正三角形」
から
「1辺2√2の正三角形×3」
を取り除いた形ですから、
六角形の面積=44√3 (*1)


次に、この「六角形の切断面」から頂点Aまでの距離(h)を求めます。

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そのためには、立方体の切断面AEGCで考えればいいですね。
このときに、正多面体である立方体の特性を理解していれば、hはすぐに求められるはずです。

つまり、
「立方体の対角線AGは面BDE・面CFHと直交」
していることから、
h=7√2×(√2/√3)=14√3/3 (*2)


よって、(*1),(*2)より、
∴六角錐の体積
=44√3×14√3/3×1/3
=616/3



合格へ向けての最後の一押しにつながれば幸いです。

受験生の皆さんの健闘を祈ります!

サクッとできればOK!(四角錐編)

いよいよ、最終チェックの時期ですね。

どう求めていけばよいか、筋道を立てられるようにしておきましょう。

サクッと筋道が頭に浮かぶようであれば、四角錐関連への対策は問題ないでしょう。


【問題】

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各辺の長さが4の正四角錐O-ABCDがある。
辺OD,OC上にOP=OQ=1となる点P,Qをとる。
さらに、点Qから辺ABへおろした垂線の足をRとする。
このとき、四角錐O-ARQPの体積を求めよ。


(答え; 7√2/6)


【解説】

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筋道としては、
「O-ABQP」→「O-ARQP」
でいいですね。

まず、
「O-ABQP」

「(O-ABCD)-(断頭三角柱PQ-ABCD)」
または、
「(O-ABQ)+(O-AQP)」
より、
(O-ABQP)=5√2/3

ここで、
(O-ARQP):(O-BRQ)
=(1+5/2):3/2
=7:3

∴(O-ARQP)
=(O-ABQP)×7/10
=7√2/6

読み換えて簡単に解こう!(続編)

「受験算数」を学んでいる小学生ならば、簡単に解いてしまうかもしれませんね。
但し、
「なぜそのように解くことができるのか」
をしっかり理解しておきましょう。


【問題】
イチゴ味、レモン味、ブドウ味の3種類のキャンディがそれぞれ8個ずつある。
この中から8個を選び出してキャンディセットをつくるとき、何通りのパターンが考えられるか?
但し、全ての種類が選ばれているようにつくるものとする。


(答え; 21通り)


この程度の個数であれば、地道に数えあげていっても構いませんが、入試の場合は
「短時間に解くか否か」
が合否に直結してきますね。

読み換えて短時間に解く術を身につけましょう。



【解説】
まず、□をキャンディを入れるスペースとし、そのスペースを8個分横一列に並べます。

□□□□□□□□

すると、
「□と□の間のスペース(“スキマ”)」
が7ヶ所できますね。

このスキマ7ヶ所の中から2ヶ所を選び、各々へ
“仕切り(|)”
を入れると、8個のスペースは3つに分けられます。

それらを、例えば
「イチゴ味|レモン味|ブドウ味」
として各スペース分だけ個数を割り振れば、題意を満たす場合に該当する、と読み換えられるようにしましょう。

例えば、
□|□□□|□□□□
は、
「イチゴ味-1,レモン味-3,ブドウ味-4」
ということです。

∴(7×6)/(2×1)=21通り


なお、次のステップとして、
「選ばれない種類があってもよいとするとどうなるか?」
という問題もあります。

高校課程で学んでいる場合は、
「重複組み合わせ」
の考え方での解き方も確認しておきましょう。

読み換えて簡単に解こう!(慶應義塾志木)

以前にも扱った「読み換え力」が問われている問題です。

もちろん、地道に数えあげていってもいいのですが、簡単に解くことができればそれに越したことはありませんね。

どう読み換えて取り組んでいけばよいか、再確認しておきましょう。


【問題】
1つのサイコロを3回振り、出た目の数を順にa,b,cとする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) a<b<cとなる確率を求めよ。
(2) (a-b)(b-c)(c-a)=0となる確率を求めよ。


(答え; 5/54,4/9)


【解説】
(1)
これと全く同じ問題を以前解説済みです。
(参照;【確率】→「読み換え」による数えあげ)


(2)
まず、
「a,b,cのうち少なくとも2つは同じ目」
であれば題意を満たす、と読み換えられますね。

ということは、
「a,b,cが全て異なる目」の“余事象”
であることに気付けますね。

「a,b,cが全て異なる目」
となる確率は、
「6×5×4/6×6×6=5/9」
なので、
∴1-5/9=4/9


また、(1)を用いて簡単に求めることもできますね。

異なる数a,b,cの大小関係は、
「a<b<cも含めて全部で6通り」
あることから、
∴1-(5/54)×6=4/9


もちろん、
「a,b,cのうち2つだけ同じ目」、
「a,b,cが全て同じ目」、
である場合を数えあげて求めても構いませんが、その際にミスを犯しがちなので、十分に注意しましょう。


※原題では、
「(3) (a-b)(b-c)(c-a)=2となる確率を求めよ。」
という設問もあるのですが、入試の際は時間的に厳しいと思われるので省略しました。
余裕のある人は、どう解き進めればよいか考えてみましょう(答え;1/18)。

シンプルな問題なので、どこかの学校で出題される可能性もありますね。