「円の接線」の作図（2023都立立川）

都立高校入試においては、毎年「作図問題」が出題されますね。

 

小学生の皆さんに伝えておくと、

「定規とコンパスのみで作図」

することを条件としているので、分度器は使えませんし、定規の目盛りも使えません。

 

よほど回りくどい方法でない限り、正しく作図できてさえいれば全く問題ないのですが、

「より少ない手数で作図」

できた方が“スマート”ですね。

 

実際の入試対策としてよりも、“頭の体操”のようなイメージで取り組んでみましょう。

 

但し、その作図の根拠となる原理は、非常に大切なものであることにも留意しておきましょう。

 

 

【ある円周上の点Aを通る接線を作図せよ】

 

 

ほとんどの人が、まず

「点Aを通る直径を含む直線」

をひき、

「その直線に点Aで直交する直線」

をひく方法をとると思います。

 

これだと、最少手数でも「7手」となりますね。

 

 

そこで、さらに手数を少なくして

「4手」

で仕上げる方法を考えてみましょう。

 

「最後の1手は接線そのものをひく」

ことにあてられるので、

「3手のみで準備」

することが求められます。

 

※因みに、

「定規を用いて2点を通る直線をひく」、

「（2点間の長さをコンパスでとり）針を1点に刺して円弧を描く」

ことを、

「1手」

とします。

誘導設問なしで解ききれるか（2023都立日比谷・改題）

前回記した通り、今年の都立日比谷においては難問レベルの出題はありませんでした。

 

但し、誘導設問さえなければ、

「どれだけ短時間で気づけたか」

を評価できる内容になっていたであろう出題はありました。

 

難問というほどではないものの、

「制限時間内に解ききらなければ…」

と焦っている精神状態であれば、気づけた人はある程度絞られてきたとは思います。

 

まだ問題を見ていないのであれば、短時間に気づけるか試してみましょう。

 

 

【問題】

線分ABを直径、中心をOとする円がある。

その円周上に3点C,D,Eがあり、

「点Aから反時計回りにA,D,E,B,C」

と異なる5点が並んでいる。

2∠BAC=∠BADで、直線AEは∠BADの二等分線となっている。

また、線分CDと線分AB,AEとの交点をそれぞれF,Gとする。

AO=5,AD=8のとき、AG:GE=？

 

（※原題とは条件文、点名が異なります。）

 

 

【解説】

原題では、前設問で

「△ADG≡△AFG」

を証明させているので、これを用いれば簡単に解けるようになっていました。

 

つまり、

「∠AGF=90゜=∠AEB」

より、

∴AG:GE=AF:FB=8:(10-8)=4:1

 

 

このように、誘導設問さえなくせば、

「気づけた人と気づけなかった人」

の選別ができて、

「平面幾何問題における情報処理・展開力」

をみることができたはずでした。

 

しかし、原題における出題方針は、

「解ききれるのは合格のための最低基準」

となるような設問レベルにしておいて、

「もし解ききれないならば合格基準に達していない」

という捉え方をしたかったようです。

 

つまり、

「“加点主義”ではなく“減点主義”」

ということですね。

都立日比谷/数学(～2023)を振り返ってみて

毎年都立日比谷においては、実施後すぐに入試問題が公開されていたものの、今年は約3ヶ月もしてからようやく公開されました。

 

何らかの意図があるのかは不明ですが、過去問集の発刊がらみから公開しない私立校ならともかく、公立校なのですから、すぐに公開することが他校の受験生にとっても指導者サイドにとっても望まれることでしょう。

 

公開時期が遅ければ遅いほど、「何らかの後ろめたい事情でもあるのか…」と臆測を呼ぶだけで、何らかのプラスの要素を付与する側面はないはずです。

（※未だに公開していない進学指導重点校もありますが…）

 

 

コロナ禍の影響から出題範囲が限定されて以来、易化が続いてきた都立日比谷の数学。

 

都立西のような出題内容でレベルを保つことが十分にできたはずなのに、どうしても“差別化を図りたい”のか、頑なにその方向性をとってはきませんでした。

 

そして今年、“正統派”の体裁を強めつつ、ようやく本来的なレベルに戻ってきた感があります。

 

従来ならば1問はあった難問レベルの出題が見あたらなくなり、

「いくつもの与条件をいかに制限時間内にうまく処理して解ききれるか」

をみるような出題が多かった印象です。

 

 

改めてこの数年の「数学」入試問題のみに着目して振り返ってみると、同校が求める生徒像が“近視眼的”ではあるものの見えてくるような気も…

 

数学のある分野に特化して秀でた、つまり“異能”のような受験生を評価するような出題は避け、いかに多数の情報を適切に処理する能力があるか、いわば“ゼネラリスト”的な受験生が評価されるような出題に努めているように感じるのです。

 

それ自体は、もっともと言えばもっともな出題スタンスではあるものの、

「一点突破の可能性を秘めた“異能”よりも、優秀な“ゼネラリスト”を集めた方が、あの“官僚養成所”へ多数の生徒を送り込むには適しているから？」

との“邪推”は、穿ちすぎな見方でしょうか…

 

 

まぁ実際のところの真相は明らかになるものではないでしょうが、

「これからの社会を生き抜いていくこどもたちに求められること」

に焦点を当てて考えてみると、“異能”は大切なキーワードとなってくると思います。

 

あと数年～10年くらいの内には、当然のようにAIを駆使しながら生活していく社会がやってくるのは目に見えている中で、ゼネラリスト的な人材の需要は果たしてどのくらいあるのでしょうか…

 

ゼネラリスト的な処理こそAIの十八番であるはずなので、人の役割としては

「AIの活用を通して、今までどうしてもできなかったことをいかに実現するか」

という一段上の“知恵を絞り出す”ことこそが求められるはずで、そんなブレイクスルーを起こせるのは、一点突破的な破壊力を持った“異能”でしょう。

 

人材採用の場面において、

「□□大学○○学部卒です！」

のような学歴偏重の評価基準は、もういいかげんに淘汰されていくことでしょう。

（※今現在は、“□□大学閥”のような連帯意識がまだまだ組織上層部には潜在意識のように存在していることが多いので、あと10年もすれば…）

 

「どこで学んできたか」

ではなく、

「何をどれだけ突っ込んで学んできたか」

こそが、その人材の将来性をはかる上で重要な評価基準となってくるはずです。

 

様々な“異能”がそれぞれの場で生き生きと活躍できるような多様性許容社会こそが、

「AIと共存する」

もしくは、

「AI駆使に伴う均質化社会を打破していく」

ために求められるはず…、と考えてしまう今日この頃です。

ものごとの見方を変換できるか

難解なものごとに、何らかの規則性のようなものを発見できたとしたら、ブレイクスルーの予感がしますね。

 

しかし、AIの活用があたりまえの世の中になったら、そんなことは朝飯前というか“秒”ではじき出してしまうかもしれませんね。

 

今巷を賑わしているChatGPTなんぞは、もうちょっとすれば「あんなオモチャがあったねぇ」くらいのほんの赤子にすぎない技術なのでしょう。

 

以前、

「ヒトゲノムの完全解読は我々が生きているうちには到底無理だろう…」

と言われたりしていましたが、例えばオーダーメイド治療も現在では標準的にさえなってきていますね。

 

「まだまだ20年以上先のこと…」

と予測されていた“シンギュラリティ”でさえも、相当前倒しになってくることでしょう。

 

本当に、映画の中の“近未来の世界”がすぐそこに迫ってきています…

 

とはいえ、人間が「脳の発達」を放棄してしまったら、それこそ恐ろしい結末しか待っていないでしょうから、せめて数学を学びながら地道な“脳の筋トレ”を続けることにしましょうか。

 

 

 

◆横一列に電源に配線された電球が並べられており、左から順番に1,2,3,4,...と番号がつけられています。

 

記された番号の電球のみが、次のルールに基づいて点灯するようになっています。

 

1秒後に1

2秒後に2

3秒後に1,2

4秒後に3

5秒後に1,3

6秒後に2,3

7秒後に1,2,3

...

 

このとき、

「1～5の全ての番号の電球が点灯している」

状態に最初になるのは何秒後でしょうか？

 

 

このような“規則性を見つける問題”では、当然

「例としてあげられたものだけから想定できる規則性」

を探る訳で、例えば上記の例で

「8秒後にそれまでの例からは想定しようのない変化」

を起こすことは考えなくていいですね。

（※あたりまえのことと思うでしょうが、「数列などの規則性問題」については、厳密に言えば色々と突っ込みどころは存在します。）

 

但し、入試などの制限時間内に、この7例だけから規則性を見いだすとしたら、相当な“問題慣れ”が必要となるでしょう。

（※あるものに「変換」できさえすれば簡単なのですが…）

 

一応、小学生にも取り組めるはずの問題なので、頑張ってみましょう。

 

 

◆で、「変換」することに気づけたとしたならば、次のような設問にも難なく答えられることでしょう。

 

【33分43秒後に「点灯している電球にはさまれた点灯していない電球」の番号を全てあげよ】

「“軌跡”問題」に慣れておこう！

ある条件が与えられ、それを満たす点をたどっていくと、線になったり面になったりすることがあります。

 

「条件を満たすように点が自由に動く」

とすると、その無数な集合を“軌跡”と呼び、それを求める問題は“動点問題の華”とも言える分野です。

 

線分はもちろんのこと、円弧であれば曲線の長さだって求められますね。

 

また、平面図形であれば様々な面積を求められますし、球面の一部であれば求積できる曲面もありますね。

 

中3生でも、現段階では数値までは求められない場合が多いので、「動点の軌跡」の考え方の練習として、正しいイメージができるか臨んでみましょう。

 

実際に、今年の都立高校入試で出題された問題なのですが、受験生の「3次元における想像力」を試す良問の部類に入ると思います。

 

 

【問題】

1辺3の立方体ABCD-EFGHがある。

点Pはこの立方体の表面と内部を自由に動くものとする。

(1)AP=BP=3を満たす点Pの軌跡を求めよ。

(2)点Pが線分DF上にあり、AP+BPの値が最小となるときの立体P-ADEの体積を求めよ。

(3)AP≧BPのとき、BP=HPを満たす点Pの軌跡を求めよ。

 

※“点の軌跡”は、線の長さを求めるのか、面積を求めるのかは、題意から判断しましょう。

今の時期だからこそ素直に解ける「四面体問題」（2023都立隅田川・改題）

多面体の中で最も面の数が少ない“四面体”。

 

つまり“三角錐”なので、その体積を求めることは難しいことではありませんね。

 

基本情報である

「底面積とそれに対する高さ」

さえわかれば求められるものの、条件によっては「無理数」や「三平方の定理」などを知らないと、その基本情報さえ求められない場合も出てきます。

 

さらに、入試問題として頻出しているのは、上記を習った後でも、そもそもその基本情報自体が求めにくい設定になっているタイプです。

（※当ブログでもいくつも扱ってきましたね。）

 

入試対策を積み重ね、入試前2～3ヶ月前あたりには「四面体求積問題」への様々な対処法を手にしているはずですが、中3生でも未習事項が多いこの時期においては、簡単な四面体問題しか手を出せないのも当然です。

 

しかし、

「手の内が限られているからこそ対処しやすい」

という例は結構あります。

 

“下手に”発展解法をあれこれ習っていると、それに固執してしまって逆に解けなくなってしまう生徒も少なくないのです。

 

 

例えば、

「AB=4,BC=5,AE=3の直方体ABCD-EFGH」

があったとしましょう。

 

ここで、

「辺FG上の点をP」

とし、

「四面体H-ACP=15」

となるときの

「線分FPの長さ」

を求めてみましょう。

 

入試で頻出しているのは、

「底面積とそれに対する高さ」

が求めにくいような位置に点Pを定めた上で、

「四面体H-ACPの体積を求めさせる」

ような設問です。

 

一方今回の場合は、

「四面体の体積が定められた上で点Pの位置を求めさせる」

設問となっているので、まず

「方程式を立てる」

ことを考えるのが筋ですね。

 

素直に、

「求めるべき線分FPの長さをx」

として、現在の知識のみで立てられる方程式を考えてみましょう。

 

 

これは実際の高校入試問題なのですが、入試直前の受験生の方が手こずってしまいがちです（三平方、相似を駆使したあげく…）。

 

1次方程式の解き方さえ習っているならば、誰でも解けてしまうことを確認しておきましょう。

 

 

【解説】

直方体を

「錐体に分割して考える」

だけですね。

 

すると、

「4×5×1/2×3×1/3×3+15+

12x/3+4(5-x)×1/2×3×1/3=3×4×5」

という1次方程式が立てられますね。

 

∴x=FP=5/2

 

 

入試直前の受験生は、例えば“切断法”だと

「平面ACGEで切断」

するのが得策ではあるものの、相似を用いて高さを求めたりと、方程式を立てるのがやや面倒になってしまいます。

 

上記のように、基本に立ち返って解いた方がかなり楽ですね。

大変な「イモ掘り」をさせるなら“カタルシス”を！

学校などの行事で「イモ掘り体験」に行ったのであれば、たとえ泥だらけになって苦労したとしても、必ず誰でもイモを掘り当てられるようになっているはずですね。

 

しかし、入学者を選別しなければならない入試においては、そのような甘いことを言ってはいられません。

 

中には、“全身泥まみれ”でイモを掘り当てる人も出てくるでしょうが、学校側がみたいのは

「いかに工夫して簡単に“掘り当てる”か」

です。

 

工夫の余地が全くない（既習事項を考慮した上で）ような条件で、“泥まみれのイモ掘りの速さ”を競わせたところで、効果的な評価へとつなげることは難しいでしょう。

 

特に受験算数などで、ゴリゴリ書き出して求めるしかないような設定内容の問題が時々見受けられますが、それが入試問題であるならば、単に制限時間を消費させるだけの設問でしかなく、それが解けたからといって評価できる側面は微々たるものです。

 

以前にも記した通り、時間制限さえなければ、例えば中高生が取り組むような「整数問題」を解くことは小学生にもそう難しいことではありません（もちろん、小学生にもわかるような設問内容に変換してあげる必要がある場合もありますが）。

 

対象が誰であっても、整数問題を解かせる意義は、様々な整数関連の性質をもとにして、

「その論理的な絞り込み方をいかに見いだすか」

にあります。

 

最終的には、多少の“イモ掘り”のような作業が必要になることはあるものの、そこに整数問題の出題意義はないのです。

 

“イモのないイモ掘り”は、さすがに入試においてはあり得ませんが、苦労させるのであればそれに見合った見返り、いわば“カタルシス”のようなものを感じさせてこそ入試難問の醍醐味でしょう。

 

ああでもない、こうでもない…と散々悩んだ末に、

「この方法だ！」

と何とか制限時間内に解法に気づけるような設定にしてあってこそ、難問に挑む意義があり、その上で見事に解ききった受験生こそ栄誉とともに評価されるべきでしょう。

 

そこで、整数を題材とした問題を通して、まずは制限時間を取っ払って、こどもも大人も“とことん考え抜く”訓練をしてみましょう。

 

 

 

「1より大きな1桁の整数をn」

として、

「1～nの整数を1つずつ書いたn枚のカード」

があります。

 

これらからカードを無作為に選び出し、左から順番に横一列に並べます。

 

そして、

「カードに書かれた数をつなげたひとかたまり」

を、

「n桁の整数A」

と捉えます。

 

その整数Aに、次のような操作を行います。

 

【操作】

1.左端のカードの数をmとする

2.左からm枚のカードを順番に取り出す

3.取り出したカードの順番を逆にして左から順に戻し新たなn桁の整数をつくる

 

その操作を、

「左端のカードの数が1」

となるまで繰り返して終了とします。

 

なお、もし最初の整数Aにおいて、

「左端のカードの数が1」

であるならば、

「操作は行わず（0回）終了」

とします。

 

 

例えば、

「n=4,A=3421」

に1回操作を行うと、

「左端のカードが3なので、左から3枚のカードを取り出し、順番を逆にした上で戻す」

ので、

「2431」

という新たな整数がつくられます。

 

まだ左端のカードの数が1になっていないので、操作を繰り返していくと、

「3421→2431→4231→1324」

という経緯をたどるので、

「3回操作して終了」

となります。

 

 

では、

「n=5で操作を1回以上行える整数A」

について考えましょう。

 

そこで、

「整数Aに操作を行い終了したときの整数」

をみてみると、例えば

「12345や14235」

は存在したものの、どんな整数Aで操作してみても、例えば

「13254」

は存在しませんでした。

 

そこで、全ての整数Aについて、操作終了時の整数を調べてみると、

「13254も含めて全部で9個の整数」

が存在しないことがわかりました。

 

この9個の整数の中で、3番目に大きな整数を求めてみましょう。

 

 

 

これは、ある高校の入試問題におけるオーラスの設問（恒例の難問）です。

 

おそらく、制限時間内に解ききった受験生は少なかったと思われます。

 

しかし、制限時間をなくして取り組むならば、小学生でも太刀打ち可能なレベル（ちょっと背伸びになるかも…）ではあるでしょう。