受験の時期も近づいてきたので、 「限られた時間内に頭の中だけでイメージできるか」 が重要になってきます。試験中と同様に、「見取り図」を描きながら考えてみましょう。 【問題】 この展開図は、 「1辺2の正三角形と正方形のみ」 で構成されている。 これ…

公立校の入試問題においては、問題で示される図がほぼ正しく描かれています。 ですから、その図を参考にして解く手がかりを見つけていくことも可能です。しかし私立校では、“問題の与条件とは異なるような見えがかりの図”を示すことで、特に幾何が苦手な受験…

今までとは傾向が少し異なる、一度はやっておくべき面白い作図問題だと思います。 【問題】 円周上に4点A,B,M,Nがあり、AB(直径)とMNの交点をPとする。 △AMP:△BNP=4:1となるとき、4点A,B,M,Nを作図せよ。 (円と内部の点Pだけが与えられている。) 【解答】 相…

都立高校入試では、作図問題が必ず出題されています。苦手とする人も結構いるようですが、幾何の原理をしっかり理解できていれば何のことはないはずです。中でも、”面積二等分線”は作図の定番なので、しっかり理解しておきましょう。 【問題】 △ABCは正三角…

応用編の部類に入る問題ですが、「一つずつわかることを積み上げていけば解ける」ことを実感しましょう。 【問題】 1辺6の正方形ABCDの辺ADの中点をM。 MCを折り目として△CDMを折り返すとDがEに移った。 直線ME,CEと直線ABとの交点をF,Gとする。 このとき、A…

まずは、「与条件を満たした図が描けるか」がポイントとなります。 【問題】 点(1,1)を通り原点を頂点とする放物線上に、x座標の小さい順に4点A,B,C,Dがある。 線分AD上には、AE=BCを満たす点Eがある。 このとき、 AD〃BC〃x軸, 正三角形BCE, となる。 (1)C…

鉄則通りに考えていけばすんなり解けますが・・【問題】 円P、円Qの半径は1で∠CAD=135° (1)CDの長さは？ (2)3点A,C,Dを通る円の中心をOとするとき四角形OCADの面積は？ (答え; 2+√2, (4+3√2)/2 ) 【解説】 (1) 四角形APBQが正方形であることがわかれば簡単で…

放物線と共通接線の融合問題です。 【問題】（一部改題）円の中心P,Qは放物線上にあり、いずれもｘ座標は負。 直線lは円P,Qに接しておりｘ軸に平行。 また円P,Qはｙ軸、直線ｍにも接しており、 円Pはｘ軸にも接している。 直線ｍとｙ軸との交点をRとし、 放…

共通内・外接線の定番問題です。 サクッとできるか確認してみましょう。【問題】 直線ｌは円A,円Bと点Cで接し、 直線ｍは円A,円Bと点D,Eで接している。 直線ｌと直線ｍの交点をF、 円Aの半径を25、DE=30とするとき、（1）円Bの半径 （2）線分BF （3）△AFBの…

グラフ上の平面図形を回転させてできる立体の問題も定番なので、今のうちから慣れておきましょう。 非常に便利な定理もありますが、まずは基本をしっかり押さえておくことが肝心です。 【問題】 原点Oを通る放物線上の3点A(-1,1),B(2,4),C(1,1)。 （1）△OAB…

基本の鉄則のみで対処しようとすると、計算がやや面倒になりますが・・ 【問題】 AB=AC=4,BC=2の二等辺三角形ABC。 辺AC上に中心があり辺AB,BCの2辺に接する半円の半径は？ (答え; √15/3) 【解説】 まずは鉄則に則り、 半円の中心（O）と接点（P,Q）を明らか…

定番の“直角三角形の折り返し”問題です。 【問題】 AB=5,AC=3,∠C=90°の△ABCを、 線分DEを折り目として頂点Bが頂点Aに重なるように折り返した。 （1）DE,CEの長さは？ （2）AEとCDの交点をPとするときCP:PDは？ （3）PAの長さは？ (答え; 15/8, 7/8, 14:25, 1…

定番の折り返し問題ですが、解き進め方を再度確認しておきます。 AH=FH=xとおいて△BFHで三平方より AH=FH=x=15/4これより△BFHは3:4:5の直角三角形とわかり △BFH∽△CJF∽△IJG∽△KIGとなります。あとは3辺比を順番に用いて IG=OG=3/4 KI=3/5 KG=9/20∴I(-3/5,6/5) …

今年は出題されませんでしたが、国立高校の入試問題では「複合的な比をうまく処理する力」が必須です。例えば、2018年の【4】問3は、その能力を問われる問題です。しかし典型的な問題なので、この類の問題を繰り返し解いてきた通塾生には何のことはないでし…

焦っていると解けない可能性もある問題です。 【問題】 平行四辺形ABCDの辺ABの中点をE。 DH⊥EC、AD=DH=CH=1。 平行四辺形ABCDの面積は？ (答え; (√3+1)/2 ) 【解説】 攻め方は2通りありますね。＜解法1＞まず、直線CEと直線ADの交点Pをとる。すると、直角三…

今年の都立（一般）では、神奈川県立で出題されたような「比の移動」の手法は必要ありませんでした。平行四辺形をもとにして面積比の知識を活用させる定番問題です。 【問題】 平行四辺形ABCDにおいて BP〃QD,CP:PD=2:1のとき 四角形QBSR（ア）は△AQR（イ）…

四角錘と捉えるよりも“断頭三角柱”として捉えた方が体積を求めやすい例です。 【問題】 AB=AC=3、BC=√3。 三角柱ABC-DEFの辺CF上に点G、辺AD上に点H。 △BGHは正三角形。 （1）△ABCの面積は？ （2）三角柱を3点B,G,Hを通る平面で切断したとき、頂点Aを含む立…

正八面体は、その構成をしっかり把握してさえいれば、非常に取り組みやすい立体です。当初から伝え続けている通り、いかに「正多面体に慣れ親しんできたか」が効いてきます。 例えば、下記のような問題をスラスラ解けるか、チェックしてみましょう。 【問題…

普段からやり込められている兄・姉、 いつも教えてもらうばかりで歯が立たない親に、 小学生が鼻をあかすことができるかもしれない問題です。中学受験の勉強をしていたり、クイズや理詰めで考えるのが好きなタイプの小学生ならば可能だと思います。 【問題】…

柱体の切断ができるようになったら、次は錐体です。但し、余り込み入った錐体の切断は、最難関レベル以外では出題されないと思います。例えば四角錘では、次のパターンの切断はよく出題されるので、しっかり理解しておきましょう。 【問題】 底面が1辺2√2の…

（2020/2/14更新） 頻出している「四面体問題」なので、都立入試に備えて、改めて確認しておきましょう。都立日比谷で今年も出題されるとしたら、難易度は上がったものになるでしょう。 しかし、基本は押さえておいてもらいたいので、再投稿しておきます。～…

入試などでは、“一か八か”の時間しかない状況でない限り、堅実に取り組んだ方が正解率は上がるでしょう。だからといって、自らの堅実性に胡坐をかいていると、意外と簡単に落とし穴にはまってしまうことがあります。 前フリした上で出題するので、ミスは犯さ…