ある条件が与えられ、それを満たす点をたどっていくと、線になったり面になったりすることがあります。 「条件を満たすように点が自由に動く」 とすると、その無数な集合を“軌跡”と呼び、それを求める問題は“動点問題の華”とも言える分野です。 線分はもちろ…

多面体の中で最も面の数が少ない“四面体”。 つまり“三角錐”なので、その体積を求めることは難しいことではありませんね。 基本情報である 「底面積とそれに対する高さ」 さえわかれば求められるものの、条件によっては「無理数」や「三平方の定理」などを知…

「今年の立体問題は“錐体”が題材とされるだろう…」 と予想された中で、案の定“円錐”に関する出題がありました。 最後の設問は“ひもかけ”問題でしたが、あまりにも出し尽くされた感もあることから、出題者の工夫が垣間見えました。 中学課程では、線分の長さ…

主に上位校入試でよく出題される“軌跡問題”です。 難問レベルではありませんが、「点」と「線分」の両方の軌跡の求め方の復習にはなるでしょう。 【問題】 AB=4,AD=AE=2√3である直方体ABCD-EFGHがある。 辺DC上に点Qがあり、AQ=4である。 点Pが、AP=4を満た…

以前にも扱った通り、斜角錐であっても、 「底面積とそれに対する高さ」 がわかれば、簡単に体積を求めることができますね。 しかし、実際の入試問題では、その“高さ”が求めにくい設定になっていることが多く、体積比などを用いて対処するのが得策となるでし…

以前から、 「正八面体は取り組みやすい正多面体」 であることを伝えてきました。 入試問題の題材とされることも多いので、しっかりその性質を把握しておくことが欠かせません。 特に受験生の場合は、その準備ができているかを確認しておきましょう。 サクッ…

立体の表面上に、その長さが最短となるようにひもをかける設定で出題される“ひもかけ”問題。 定番問題の一つでもあるので、解いたことがある受験生も多いことでしょう。 ただ、どんな設定であってもその取り組み方は変わらないので、特に数学が得意な人ほど…

「錘体の切断」問題では定番の題材である正四角錘。 その多くは“瞬殺”できるような切断設定で出題されますが、上位校を狙う場合は、少しは考えさせるパターンの設定のものも解いておきましょう。 要は、 「相似をいかに用いて解くか」 であり、その方法は色…

“斜角錐”というと小難しく聞こえるかもしれませんが、例えば「直方体ABCD-EFGHを切断してできる三角錐A-EFH」がそれに該当しますね。 （※“立方体”ABCD-EFGHならば三角錐A-EFHは“直角錘”ともなりますね。） 要は、 「底面の重心の真上に頂点があるかないか」 …

2022年の都立青山の入試において、都立高校としては画期的な出題がありました。それは、 「答えが限定されていない」 というところです。「例を一つあげよ」という出題ならばよくありますが、いくつかの選択肢の中から正しい選択をした上で、そこからさらに…

「比を駆使して解く問題」は同校入試における十八番ですが、今年の問題はそのオンパレードでした。様々な分野の“比”問題が揃っているので、一通り学んだ後の演習問題として取り組んでみることをお勧めします。その中から、現段階で誰でも（小学生でも可）取…

「正四角錘」は、入試における立体問題の定番題材の一つですね。その題材を用いて、簡単な設定で見事に難問に仕上げられた中学入試問題です（というか、小学生がどう解くのか解明できていませんが…）。ただ、中学生以上の人が取り組んでも、十分に頭を悩ます…

「多面体の内・外接球」 は立体の定番問題ですが、難関校入試では、 「多面体の全ての辺に接する球」 に関する問題も出題される可能性があります。多面体の種類によっては、捉え方いかんで“瞬殺”できてしまうものもありますが、基本的には「最適な断面」を見…

「頭の中で立体を組み立てる」 ことを苦手としている人にとっては、嫌な問題かもしれませんね。苦手な場合は、数をこなして慣れるしかないので、志望校で出題される可能性が高い場合は、様々な問題に取り組んでおきましょう。攻略法として一番確実なのは、大…

立体問題の中でも定番中の定番である “平面による切断問題” について再確認しておきましょう。「異なる3点」が与えられれば、その3点を通る平面が決定するので、その平面で立体を切断する設定の問題は、皆さん取り組んだことがあると思います。錐体ではなく…

「三平方の定理」を試験範囲から除外した今年の入試問題なので、小学生にも解ける内容になっています。「展開図の正誤問題」は、得手不得手がハッキリと分かれる分野だと思いますが、基本的には慣れてもらうしかありません。立方体などの簡単な立体の“展開図…

中学入試における「回転体の求積問題」なので、解けるのは当然のこととして、 「いかに少しでも楽して求めるか」 という観点からやってみましょう。基本的な解法としては、 「3種類以上の回転体の増減」 で求めるでしょうが、 「2種類以下」 で求められるよ…

実際の高校入試問題なので、 「方程式を立てて解く」 のが基本ですが、小学生にとっては簡単に解ける“虫食い算”となりますね。与条件から 「論理を積み上げて解く」 練習問題として、サクッと片付けちゃいましょう。 【問題】 Aは4桁の自然数である。 「Aの…

今年の中学入試で出題された問題ですが、「何かを知らなければ解けない」という類のものではないので、こどもから大人まで誰にでも取り組めます。力業で押し切っても不可能ではありませんが、ある程度まで考えたら、そこから先は計算で求められるようにしま…

「2021灘中入試」からの出題ですが、前回の「2021神奈川県立入試」の“3次元バージョン”のような問題です。小学生の場合は、「最大・最小」となる条件を“論理を積み重ねて”導く必要があり、頭の回転の良さが求められる問題でしょう。もっとも、パターンが限ら…

毎年のように注意を促している、「四面体の体積」を求める問題です。特徴としては、 “底面に対する高さが求めにくい” ので、若干の工夫を要するんでしたね。 そこで、今回は中学入試問題を用いて再確認しておきましょう。小学生でも解ける問題なので、中学生…

「過去問集の模範解答」に、やたらと面倒な解き方が示してあったので、取り上げてみました。「回転体の体積」を求める問題では、確かに面倒な解き方しかない場合もありますが、工夫すればそれほどでもないことが多いので、しっかり練習しておきましょう。※以…

2020年の筑駒の入試問題では、その他の問題は解いた上で、 「大問[2],[3],[4]の最後の小問」 のうち1つでも答えられたならば、「数学」においては最善を尽くしたことになるでしょう。では、どの問題に力を傾注すべきだったか。それは、「[4]の立体問題」でし…

いわゆる“円錐のひもかけ”をもとにして、六面体の体積を求める問題です。“ひもかけ”の方は問題ないとしても、 「六面体の体積をいかに求めるか」 で解く時間に差が出てくるでしょう。実際の入試では誘導設問がありますが、今回は「なし」で解ききる練習をし…

「正三角錐」 という呼称はあまり使いませんが、前回の 「正四角錐」 と対比するために用いました。要は、 「三角錐(or四面体)」 の上級レベルの切断(or体積比)問題です。実際の入試においては、全てを解ききるのは時間的に厳しかったでしょう。しかし、難関…

「柱体の切断」 については、様々な問題で取り組んできていると思いますが、 「錐体の切断」 についても、“標準レベル”までは理解しておきましょう。 「正八面体の切断（2020ラ・サール/改題）」 https://mcafejr.hatenablog.com/entry/2020/11/08/171740 の…

絵を描くことに苦手意識を持っている場合、 「立体の見取り図」 を問題の与条件通りに描けず、苦労している人もいるかもしれません。一般的には、やや見下ろした視点からの 「立体の正射影」 を元に描くと、“それらしく”見えます。奥行きや高さが大きいもの…

このブログで何度も伝えてきましたが、 「正多面体に慣れ親しんでおく」 と、立体問題を解く際に大いに役立ちます。例えば、前回の問題を解く際にポイントにもなったのが、 「正八面体のシルエット」 でした。正確に表現すると、 「正八面体の面に平行な平面…

これまで何度も伝えてきた通り、 「その性質をしっかり把握」 してさえいれば、 「正八面体は扱いやすい正多面体」 でしたね。実際の入試問題を用いて、その確認をしておきましょう。 【問題】1辺12の正八面体ABCDEFがある。 辺AB,ACの中点をそれぞれP,Qとし…

「異なる4点」が同一平面上にある場合、その4点を直線で結んでみると、どのような図形が形成されるでしょうか。「1つの線分、三角形、四角形」 が考えられますが、当然ながら“立体”は形成されませんね。では、 「同一平面上にはない異なる4点」 を直線で結ぶ…