いわゆる“円錐のひもかけ”をもとにして、六面体の体積を求める問題です。
“ひもかけ”の方は問題ないとしても、
「六面体の体積をいかに求めるか」
で解く時間に差が出てくるでしょう。
実際の入試では誘導設問がありますが、今回は「なし」で解ききる練習をしておきましょう。
【問題】
図のように、Pを頂点とし、円Oを底面とする円錐がある。
円Oの半径は1で、母線PQの長さは4である。
点Qから円錐の側面上を1周して点Qに戻る曲線のうち、長さが最短となるものをlとする。
また、円Oの周上に3点A,B,Cを、
「弧AB:弧BC:弧CQ:弧QA=2:2:1:1」
となるようにとり、3つの母線PA,PB,PCとlとの交点をそれぞれD,E,Fとする。
このとき、6つの平面で囲まれた六面体ODEFPの体積を求めよ。
（答え；(√5+√15)/6）
「平面DEFで2つの三角錐に分ける」
のは面倒なだけですね。
「三角錐の体積比」
を用いて解いていく方法もありますが、前段の誘導設問において、
「DFの長さ」
を求めさせられているので、これを用いるのが素直かつ簡単でしょう。
