“断頭三角柱”一本で押していってもいいでしょうが、別の解法があることも理解しておきましょう。
また、「五面体の切断」がありますが、このくらいはできるはずですね。
【問題】
五面体ABC-DEFの面BEFCは長方形、面DEFは1辺2√2の正三角形である。
また、四角形ABED≡四角形ACFDで、AD=2,BE=4,∠ABE=∠BAD=90゜である。
辺DE上にDP=2√2/3となる点Pをとる。
(1)五面体ABC-DEFの体積を求めよ。
(2)五面体ABC-DEFを3点B,C,Pを通る平面で切断したとき、点Aを含む方の立体の体積を求めよ。
【解説】
まずAB=AC=2より、
△ABCは直角二等辺三角形ですね。
「五面体の切断」は、「四角錐の切断」と同様に考えればいいですね。
(1)
典型的な“断頭三角柱”なので、
∴2×2×1/2×(2+4+4)/3=20/3
(2)
辺DF上にDQ=2√2/3となる点Qをとると、
切断面は台形BCQPとなりますね。
(解法1)
すると、
求めるべき立体以外の立体(点Eを含む方)は、
“断頭三角柱”
として求めることもできます。
∴20/3-4×2√2/3×1/2×(2√2/3+2√2+2√2)/3=68/27
ですが、上記のように、計算が若干面倒ですね。
(解法2)
そこで、
ADとBP(またはCQ)の交点をR
とします。
すると、
DP:PE=DQ:QF=DR:BE=1:2
ですから、
DR=2
と求まります。
よって、求めるべき立体は、
「三角錐R-ABCを基準とした体積比」
を用いて求めることができます。
∴2×2×1/2×4×1/3×(1-1/2×1/3×1/3)=68/27
この方法で計算した方が簡単ですね。
（2019西大和学園・一部改題）
