以前にも取り上げた「立方体の塗り分け方」を題材とした問題。
今年のある難関大学入試でも出題されました。
しっかりと論理的に考えられるのであれば小学生でも解けますが、中学生以上であれば、多少の時間はかかったとしても解くことができるはずです。
もちろん、ある一つの設問だけの話なので、難関大学の入試問題であっても、そういうこともあり得るのです。
「もしかして合格できる学力がある？」
などと勘違いしてしまってはいけないものの、何となく気分が良くなる面もあると思うので、トライしてみましょう。
【問題】
「3個の異なる色」を用意する。立方体の各面にいずれかの色を塗る。各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする。辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を求めよ。
また上記と同じ条件で、「4個の異なる色」を用意した場合の確率を求めよ。
実際の問題では、「n個」で出題され極限まで求める内容となっていますが、上記の確率を求める設問も前段で出題されています。
※小学生のために説明しておくと、「同様に確からしい」とは「サイコロをふる時のようにどの場合となる確率も同じ」であることを意味します。
【「3個の異なる色」の場合】
問題文には、
「全ての色を用いること」
という但し書きはありませんが、必然的に3色用いないと全ての面を塗ることはできませんね。
そして、特に注意しなければならないのは、
「立方体の塗り分け方の“種類”を問うている訳ではない」
というところです。
“確率”を求めるのですから、
「回転させると同じパターンになるから…」
などと考えていてはいけませんね。
例えば、
「aという面に隣接する面を順番にb,c,d,e」
とし、
「aの対面にあたる面をf」
としましょう。
すると、
「(a,f),(b,d),(c,e)」
がそれぞれ
「同色となる“対面どうしの二面”の組み合わせ」
となりますね。
つまり、
「3色を赤、青、黄」
とすると、例えば、
「(a,f)が赤,(b,d)が青,(c,e)が黄」
と、
「(a,f)が赤,(b,d)が黄,(c,e)が青」
が違うパターンとしてカウントしていかなければいけませんね。
すると、
「(a,f)が赤の場合」
「(b,d)が赤の場合」
「(c,e)が赤の場合」
と場合分けすると、各々2通りずつあるので、
「全部で6通り」
ありますね。
∴ 6/(3の6乗)=2/243
