毎年のように注意を促している、「四面体の体積」を求める問題です。
特徴としては、
“底面に対する高さが求めにくい”
ので、若干の工夫を要するんでしたね。
そこで、今回は中学入試問題を用いて再確認しておきましょう。
小学生でも解ける問題なので、中学生も負けていられませんね。
このレベルであれば、一般都・県立入試でも出題される可能性は大です。
【問題】（2021開成中・改題）
1辺6の立方体ABCD-EFGHがある。
辺AEを1:5に内分する点をP、
辺BFを2:1に内分する点をQ、
辺CGを1:2に内分する点をRとする。
(1)四面体AFHRの体積を求めよ。
(2)四面体HPQRの体積を求めよ。
（答え；60,42）
【解説】
(1)
立方体の体積から余計な立体、
「四角錐A-BCRF」、
「四角錐A-CDHR」、
「三角錐A-EFH」、
「三角錐R-FGH」
の体積を取り除けばいいので、
∴60
中学生ならば、
「面ACGE」
または、
「面BDHF」
で切断した断面積から考えてもいいですね。
∴15√2×6√2×1/3=60
(2)
この場合も、
「立方体から余計な立体を取り除く」
ことで求めることができますね。
余計な立体は、全て“断頭三角柱(4つ)”として求めてしまうのが簡単ですね。
∴216-18×(3+7/3+7/3+2)=42
中学生は、(1)と同様に、
「面ACGE」
または、
「面BDHF」
で切断した断面積から考えてもいいでしょう。
∴(21√2/2)×6√2×1/3=42
