「錘体の切断」問題では定番の題材である正四角錘。
その多くは“瞬殺”できるような切断設定で出題されますが、上位校を狙う場合は、少しは考えさせるパターンの設定のものも解いておきましょう。
要は、
「相似をいかに用いて解くか」
であり、その方法は色々とあります。
入試本番で焦ることがないように、自分に合った解き方を身につけておきましょう。
【問題】
全ての辺の長さ6がの正四角錘O-ABCDがある。
辺OAの中点をP、辺OBの三等分点のうちBに近い方の点をQ、辺OCの中点をRとし、点P,Q,Rを通る平面と辺ODとの交点をSとする。
また、頂点Oから平面ABCDに下ろした垂線をOHとし、OHと平面PQRSとの交点をIとする。
四角錘O-PQRSの体積を求めよ。
※実際の出題では、
「OI,OSの長さと△OSQの面積」
を求めさせる誘導設問の後に、四角錘O-PQRSの体積を求めさせています。
【解説】
誘導設問通りに解き進めていけば、解きやすいでしょう。
但し、
「OSの長さ」
を求める段階で、色々な手法が考えられます。
相似を複合的に組み合わせていけば必ず解けるので、
“補助線の引き方”
に慣れてさえいれば、難なく求められるでしょう。
しかし、入試本番の焦りから、それに手間取ってしまうことも考えられますね。
そんな時のために“メネラウス”を使えれば楽なのですが、それを使う権利があるのは、その原理をしっかり理解している人に限られます。
当然、上位校を狙うだけの理解レベルが必要なので、アップアップの人が無理くりその公式を覚えたところで、使いこなすことは難しいでしょう。
また、覚え方についても、解説によっては“敷居が高そうな”内容となっているものもあり、いざ使おうとする際に応用できずにいる人も多いようです。
（※簡単に理解できる方法があるのですが…）
いずれにせよ、
「OSの長さ」
を求められさえすれば、
「四角錘O-PQRS=△OSQ×PR×1/3=24√2/5」
で解決ですね。
