毎年のように注意を促している、「四面体の体積」を求める問題です。特徴としては、 “底面に対する高さが求めにくい” ので、若干の工夫を要するんでしたね。 そこで、今回は中学入試問題を用いて再確認しておきましょう。小学生でも解ける問題なので、中学生…

「過去問集の模範解答」に、やたらと面倒な解き方が示してあったので、取り上げてみました。「回転体の体積」を求める問題では、確かに面倒な解き方しかない場合もありますが、工夫すればそれほどでもないことが多いので、しっかり練習しておきましょう。※以…

2020年の筑駒の入試問題では、その他の問題は解いた上で、 「大問[2],[3],[4]の最後の小問」 のうち1つでも答えられたならば、「数学」においては最善を尽くしたことになるでしょう。では、どの問題に力を傾注すべきだったか。それは、「[4]の立体問題」でし…

いわゆる“円錐のひもかけ”をもとにして、六面体の体積を求める問題です。“ひもかけ”の方は問題ないとしても、 「六面体の体積をいかに求めるか」 で解く時間に差が出てくるでしょう。実際の入試では誘導設問がありますが、今回は「なし」で解ききる練習をし…

「球」を題材とした定番設定の問題です。このような問題を通して、「立体相互の関係」をしっかり把握しておくと、応用問題にも対応できるようになるでしょう。小学生は、この問題を解くことはできないものの、 「大小の球と立方体がどのような位置関係にある…

「正三角錐」 という呼称はあまり使いませんが、前回の 「正四角錐」 と対比するために用いました。要は、 「三角錐(or四面体)」 の上級レベルの切断(or体積比)問題です。実際の入試においては、全てを解ききるのは時間的に厳しかったでしょう。しかし、難関…

「柱体の切断」 については、様々な問題で取り組んできていると思いますが、 「錐体の切断」 についても、“標準レベル”までは理解しておきましょう。 「正八面体の切断（2020ラ・サール/改題）」 https://mcafejr.hatenablog.com/entry/2020/11/08/171740 の…

絵を描くことに苦手意識を持っている場合、 「立体の見取り図」 を問題の与条件通りに描けず、苦労している人もいるかもしれません。一般的には、やや見下ろした視点からの 「立体の正射影」 を元に描くと、“それらしく”見えます。奥行きや高さが大きいもの…

このブログで何度も伝えてきましたが、 「正多面体に慣れ親しんでおく」 と、立体問題を解く際に大いに役立ちます。例えば、前回の問題を解く際にポイントにもなったのが、 「正八面体のシルエット」 でした。正確に表現すると、 「正八面体の面に平行な平面…

これまで何度も伝えてきた通り、 「その性質をしっかり把握」 してさえいれば、 「正八面体は扱いやすい正多面体」 でしたね。実際の入試問題を用いて、その確認をしておきましょう。 【問題】1辺12の正八面体ABCDEFがある。 辺AB,ACの中点をそれぞれP,Qとし…

「異なる4点」が同一平面上にある場合、その4点を直線で結んでみると、どのような図形が形成されるでしょうか。「1つの線分、三角形、四角形」 が考えられますが、当然ながら“立体”は形成されませんね。では、 「同一平面上にはない異なる4点」 を直線で結ぶ…

「多面体の外接球」 とは、一般的には、 「多面体の全ての頂点と接する球」 と捉えるのが普通ですが、一応語義としては、 「多面体の外部に接する球」 という意味でしかないので、中には、 「部分的に外接する球」 のような設定の場合もあり得るので、与条件…

柱体でも錐体でもなく、ちょっと変わった多面体ではありますが、どこかで見かけたことがあるかもしれません。その体積を求めさせるにあたって、実際の入試などではヒントが与えられることも多いかもしれませんが、今回はノーヒントでいきましょう。今のうち…

幾何の問題に取り組む際に、 「線分比・面積比・体積比の相互変換」 が自由自在に行えるよう、練習を積んでおくことを以前から伝えてきました。その成果を、ちょっと試してみましょう。 【問題-1】AB=3,AC=4で辺BCが最長辺となる直角三角形ABCがある。 頂点A…

「頂点や辺上にある3点」 を通る平面による立方体の切断は、定番問題ですね。今回は、その応用編の切断です。基本的な考え方は変わらないので、一つずつしっかりとステップを踏んでいけば解けるはずです。小学生も、面積は求められないにしても、切断平面が…

「お兄ちゃん、何回数えても、そのたびに回数が違ってくるんだけど…」 「ちゃんと系統を分けて、一つずつ順番に数えていってごらん。」 小学生でも、じっくり時間をかけて考えるならば、ほぼ全員が正しく答えられるでしょう。しかし、ちょっとそそっかしい妹…

立方体は、誰もが一番慣れ親しんだ正多面体でしょう。ですから、わざわざ図を描かなくても、頭の中だけでも様々なイメージができると思います。だからこそ、油断も生まれがちではありますが、そんな立体を用いた確率問題です。毎度のことではありますが、じ…

当然ながら、複雑な立体であればあるほど、展開図のみから、それを組み立ててできる立体をイメージすることは難しいですね。その展開図を頭の中で組み立て、見取り図に変換できる能力を持っているのであれば、初見の展開図でも何とかイメージすることも可能…

「特殊な立体の体積を求める力」をみるための定番問題で、現在の力を確認しておきましょう。実際の高校入試で、ほぼ同内容で出題されたものですが、高学年の小学生ならば十分に解けるはずです。但し、できるだけ手間をかけないで求める方法を探りましょう。 …

前回の「正三角形6個」の展開図は、頭の中で組み立てることも容易でした。 https://mcafejr.hatenablog.com/entry/2020/05/14/133933今回は、実際の入試において出題された 「正三角形14個」 で構成された展開図です。 （※但し、“へこみのない”多面体の展開…

「空間における3点」であれば、その全てを通る平面は必ず存在しますね。 しかし、「4点」となると簡単にはいきません。入試において、 「空間における4動点が同一平面上」 にある場合を考えるには、“時間との闘い”に伴う焦りもあり、厳しいものがあるでしょ…

「柱体・錐体である多面体」 の体積ならば、簡単に求められる場合もありますね。しかし入試問題では、柱体・錐体であっても、 「底面に対する高さ」 が求めにくい場合が多くなります。ましてや、 「柱体・錐体ではない多面体」 であるならば、その体積を求め…

今回は、 「正四・正八・正二十面体」 の話ではありません。前回の、 「正三角形6個のみで構成された平行四辺形BCIR」 という展開図を組み立てた立体についての補足です。 展開図からも明らかなように、 「合同な正多角形のみで構成された多面体」 ですが、“…

学年に関係なく、小学生から大人まで誰にでも考えられる、有名な展開図に関する問題をやってみましょう。 【問題】 下図は、正三角形のみで構成されたある立体の展開図である。 この展開図から立体を組み立てたとき、下記の問いに答えよ。(1)どのような立体…

正多面体の模型が、日々目にするような場所にあり、すぐ手にとって確かめられるようにしておくことを、以前から勧めてきました。それを実行してきた人は、 「“平行な面”が存在する正多面体」 が何であるかは、自然と脳裏に刻み込まれていることでしょう。入…

合同な長方形3つを、そのど真ん中で相互に垂直に貫入（長辺方向に平行）させると、下図のようになります。 実際に作ってみてもいいでしょう。ある程度の厚紙で、 「5cm×8cmの長方形」 を3つ作ります。 （この長短辺比率ならばどのような大きさでも構いません…

各種の「作図法」は中学課程で学びますが、簡単な作図法ならば、小学生でも原理を理解できると思います。例えば、 「正三角形の作図」 をみてみましょう。正三角形とは、 「3辺の長さが等しい三角形」 なので、 「なぜその方法で作図できるのか」 は理解でき…

前回の直方体のように、 「柱体の切断」 は中級編の立体問題です。それに対して、 「錘体の切断」 は中～上級編となります。 （※切断面が複雑になる場合が上級編）しかし、今回の、 「正四面体の二等分切断」 は、小学生でも十分に考えられる内容です。 まず…

意外と勘違いしている人が多いので、再確認しておきましょう。「立体を頭の中だけで捉える」 または、 「立体の見取り図を描く」 のが苦手な人によく見受けられる勘違いです。まず、次の問題を解いてみましょう。 【問題】直方体ABCD-EFGHがある。 辺BF上の…

「立体の見取り図を与条件通りに描く」 ことができると、複雑な立体問題にも対処しやすくなります。とはいえ、立体どうしが重なり合う場合、 「“交点・交線”が立体のどの位置にあるのか」 が頭の中で正しく把握できていれば、問題ないでしょう。 下記の問題…