放物線と共通接線の融合問題です。
【問題】（一部改題）
円の中心P,Qは放物線上にあり、いずれもｘ座標は負。
直線lは円P,Qに接しておりｘ軸に平行。
また円P,Qはｙ軸、直線ｍにも接しており、
円Pはｘ軸にも接している。
直線ｍとｙ軸との交点をRとし、
放物線（比例定数a）は(-6,18)を通る。
このとき
・aの値
・点P,Q,Rの座標
を求めよ。
【解答】
まず18＝a×{（-6）の2乗}より
∴a=1/2
円Pの半径をｒとするとPの座標は(-r,r)
これが放物線上にあるので
r=(1/2)×{(-r)の2乗}よりr=2
∴P(-2,2)
円Qの半径をRとすると
Qの座標は(-R,2r+R)=(-R,4+R)
これが放物線上にあるので
4+R=(1/2)×{(-R)の2乗}よりR=4
∴Q(-4,8)
≪ポイント≫
点Rは「直線PQとｙ軸との交点」と一致します。
よって
直線PQの式はy=-3x-4であるので、
∴R(0,-4)
放物線が絡んできても、一つずつクリアしていけば全く難しくありませんね。
本問で再確認してほしいのは≪ポイント≫のところです。
つまり、2つの円の大きさが異なるとき
「2つの円の共通外接線の交点を2つの円の中心を結ぶ直線が通る」
ということです。
言葉にすると難しく感じるかもしれませんが、
「角に内接する円の中心の作図」
の原理を思い出してみましょう。
「角に内接する円の中心の無数の集まり＝角の二等分線」
でしたね。
中1で学んだことをしっかり理解していると、中3の応用問題に活かせます。
