今年のある都立高校の入試問題なのですが、時間の制限をなくせば小学生でも解けると思います。
一方高校受験生の場合は、アクロバティックに考え過ぎることで逆に解けなくなってしまう可能性もあるかもしれません。
※小学生のために一つだけ補足しておくと、
「円に内接する三角形で“直径を1辺とする場合”はその対角が直角となる」
ということです。
中学受験の勉強をしている小学生ならば、テクニックとしては知っているかもしれませんが、その原理までは理解できていないと思います。
中学生になってから、しっかり理解しておきましょう。
【問題】
線分ABを直径とする半円(中心O)がある。
弧CD=弧DBとなるように、2点C,Dが半円弧上にA,C,D,Bの順に並んでいる。
直線ACと直線BDの交点をE、直線CDと直線OEの交点をFとする。
AB=12,BE=10のとき線分CFの長さを求めよ。
【解説】
まず、
「弧BD=弧DC」
より、
「∠BOD=∠COD=a」、
「∠OBD=∠ODB=∠OCD=∠ODC=b」
とおくと、
「∠OAC=∠OCA=a」
とわかります。
また、
「a+2b=180゜」
から、
「∠CDE=a,∠DCE=∠DEC=b」
となるので、
「△ABE∽△DCE」
がわかりますね。
さらに、
「∠ADB=90゜」
より、
「BD=DC=DE=5」
とわかるので、
「CE=25/6」
が導けます。
そして最後に、
「OD〃CE（∵錯角が等しい）」
であることから、
∴CF=125/61
上記は小学生用の解説ですが、高校受験生ならば円関連の様々な定理を用いて、もっと簡単に求められますね。
