正五角形を題材とした出題の方向性は、高校入試レベルでは色々と考えられますが、「角度を求める問題」は定番の部類に入るでしょう。■ 中学入試問題で例えれば、今年（2024）の西大和学園中の問題あたりが妥当なところでしょう。■ しかしながら、今年の他の中学入試問題で、なかなかオモシロイ出題がありましたので、トライしてみてください。■ 答えを出すだけであれば正解者も多数いるでしょうが、 「ちゃんとそれを導く論理を説明できるか」 が今回問うているところです。■ 高校入試にトライする受験生であっても、それほど時間をかけられない状況の中で、果たしてどこまで解ききれるでしょうか。■■■ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 【問題】 正五角形ABCDEがあり、その内部に辺CDを1辺とする正方形CDFGをつくる。 また、線分ADを1辺とする正方形ADHIを、点Eを内部に含むようにつくる。 線分AEと線分FIの交点をJとするとき、∠AJIの大きさを求めよ。 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【2024/2/9(不具合発生250日目)】依然として運営サイドによる是正措置なし! ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6/5より正常に投稿ができなくなって以来、8ヶ月以上不具合等のアナウンスは全くなく、運営サイドによる是正措置も全くないままです。■ ・「改行」が全く行われないまま表示される ・「カテゴリー設定」ができない ・「コメント作成・表示」ができない ・「予約投稿」ができない ・「アクセス数の日時推移」が表示されない …■ 上記のような状況がずっと続いているため、読む側にとっても不快極まりないこととは思いますが、私にはどうすることもできません…■ このような一方的な横暴を看過する訳にはいかないので、せめてもの抗いとして、ブログの更新だけは続けていきます。■ もし、ずっと更新されないままだった場合は、言論封殺が実行されたと思ってください。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【解説】 この条件設定であれば、まずは “回転合同” の方向性で考えていくと思います。■ しかし、いくら考えても埒があかないため、方向性の転換を迫られることになります。■ そうなると、 「いかに補助線を引くか」 がカギとなってきます。■ また、正解の補助線を引けたとしても、 「正解にたどり着く筋道につなげられるか」 も、大切ですね。■ 正解を導く補助線は、 「線分AC」 となりますが、 「3点C,F,Iが同一直線上にある」 という論理を説明できないのであれば、単なる“当てずっぽうの正解”でしかありません。■ その論理をちゃんと説明できる前提で、 ∴∠AJI=99゜ と求まりますね。■■■ （2024灘中・改題）
ひし形六面体
聞き慣れない名称かもしれませんが、どのような立体かを想像することは難しいことではないと思います。■ 「6つの合同なひし形によって構成された多面体」 のことです。■ それほど難解な立体ではないため、入試の題材（特に難関校）とされることもあります。■ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 例えば、 「1辺の長さ=2のひし形六面体ABCD-EFGH」 について考えてみましょう。■ さらに、 「∠CGF=∠FGH=∠HGC=60゜」 としましょう。■ “特別角”の設定から、色々と導き出せることがありますね。■ まずは「見取り図」を描いて、わかる部分の長さを書き込んでいくことで、全体像の把握ができるようになってくるはずです。■ 但し、 「見取り図をどのような視点からイメージするか」 がポイントともなります。■ 頭の中で立体をイメージするのが得意であれば、 「ひし形の対称性」 から、 「正八面体をイメージするとき」 のように、 「鉛直方向に“中心軸”を合わせる」 ような視点から全体像を捉えてもいいでしょう。■ そうでなければ、 「ひし形は平行四辺形」 であることから、 「正六面体をイメージするとき」 のような視点から考えると、見取り図を描きやすくなるかもしれません。■ つまり、 「正六面体は正方形が平行移動した軌跡」 として捉えられるように、 「ひし形六面体はひし形が平行移動した軌跡」 としてイメージするといいでしょう。■ 但し、 「三次元的な斜め方向の平行移動」 となることに気づけるかがカギとなります。■ ここまで進められれば、全体像把握のための下準備は完了となります。■ そこでまず、 「ひし形六面体の対角線（CE）の長さ」 を求めてみましょう。■ 次に、 「ひし形六面体を3点A,B,Hを通る平面で切断」 したときの切断面の面積を求めてみましょう。■■■ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【2024/2/9(不具合発生250日目)】依然として運営サイドによる是正措置なし! ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6/5より正常に投稿ができなくなって以来、8ヶ月以上不具合等のアナウンスは全くなく、運営サイドによる是正措置も全くないままです。■ ・「改行」が全く行われないまま表示される ・「カテゴリー設定」ができない ・「コメント作成・表示」ができない ・「予約投稿」ができない ・「アクセス数の日時推移」が表示されない …■ 上記のような状況がずっと続いているため、読む側にとっても不快極まりないこととは思いますが、私にはどうすることもできません…■ このような一方的な横暴を看過する訳にはいかないので、せめてもの抗いとして、ブログの更新だけは続けていきます。■ もし、ずっと更新されないままだった場合は、言論封殺が実行されたと思ってください。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【解説】 まず、与条件から 「BD=DE=EB=CF=FH=HC=2」 が導けるので、 「四面体ABDEと四面体GCFHは正四面体」 とわかります。■ すると、2つの正四面体以外の部分は、全ての面が 「辺の長さ=2の正三角形」 で構成されていることがわかりますね。■ そうです、 「正八面体」 ですね。■ よって、 「CE=2√2」■ 切断面は、 「合同な直角三角形2つからなる四角形」 とわかるので（∵3辺比より）、 「切断面の面積=4√2」■■■ （2023筑附・改題）
立方体内部を通る最短経路
「立体の“表面上”の最短経路問題」については、色々と取り組んできていることでしょう。■ 展開図上で最短経路を考えるだけなので、慣れれば何てことはないと思います（※以前扱ったように若干の注意点はあります）。■ 今回は 「“立体内部”を通る最短経路」 ですが、 「1クッション入っている」 ことから、さらに思考を深めて捉える必要があります。■ 主に上位校での出題が多いものの、入試間際のこの時期に一度取り組んでおくと、立体把握のいい訓練になるでしょう。■■■ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【問題】 1辺4の立方体ABCD-EFGHにおいて、辺AB上にAP=3となる点P,辺FG上にFR=1となる点Rをとる。 点Qは辺DH上を自由に動くとする。 この立方体の内部を通る経路で、点Pから点Qを通って点Rに至る最短のものの長さを求めよ。 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【2024/1/30(不具合発生240日目)】依然として運営サイドによる是正措置なし! ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6/5より正常に投稿ができなくなって以来、7ヶ月以上不具合等のアナウンスは全くなく、運営サイドによる是正措置も全くないままです。■ ・「改行」が全く行われないまま表示される ・「カテゴリー設定」ができない ・「コメント作成・表示」ができない ・「予約投稿」ができない ・「アクセス数の日時推移」が表示されない …■ 上記のような状況がずっと続いているため、読む側にとっても不快極まりないこととは思いますが、私にはどうすることもできません…■ このような一方的な横暴を看過する訳にはいかないので、せめてもの抗いとして、ブログの更新だけは続けていきます。■ もし、ずっと更新されないままだった場合は、言論封殺が実行されたと思ってください。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【解説】 単純に、 「2点間の最短距離」 を考えるのであれば、三次元であっても 「2点を結ぶ線分（直方体の対角線）の長さ」 を求めればいいだけですね。■ ところが今回は、 「点Qは辺DH上を自由に動く点」 という“1クッション”が入ってくるので、 「線分PQと線分QR」 に分けて考えることにしましょう。■ すると、それぞれ 「直角三角形PDQと直角三角形RHQ」 に着目すればよく、 「PD=RH=5」 となることから、 「点Qが辺DHの中点」 であれば、 「線分PQ+線分QRの長さが最短」 となりますね。■ 「4点P,D,H,Rが同一平面上にはない」 のですが、 「線分PQ+線分QRが最短となる点Qの位置」 を考える際には、同一平面上にある場合と同様に、例えば 「点Qの対称点」 をとって考えればいいですね。■ ∴P～Q～Rの最短経路の長さ=2√29■■■ （2023大阪星光学院・改題）
2024大学入学共通テスト「数学Ⅰ・A」について
五面体の体積
受験生にとっては大詰めの時期となってきましたね。■ これから受験本番に向けては、立体問題を中心に、簡単そうで意外と時間がかかってしまうような問題を取り扱っていくことにしましょう。■ 精神的にも落ち着いた状態で、時間無制限で取り組んだのであれば、解けて当然の内容なのですが、 「プレッシャーのかかった状態で短時間に解ききれるか」 試してみましょう。■■■ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【問題】 正三角柱ABC-DEF（※斜角柱ではない）においてAD=10である。 辺BE上にEP=2となる点P、辺CF上にFQ=6となる点Qをとると、∠AQP=120゜となった。 この正三角柱を3点A,P,Qを通る平面で切断したとき、点Bを含む方の立体の体積を求めよ。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 【2024/1/15(不具合発生225日目)】依然として運営サイドによる是正措置なし! ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6/5より正常に投稿ができなくなって以来、7ヶ月以上不具合等のアナウンスは全くなく、運営サイドによる是正措置も全くないままです。■ ・「改行」が全く行われないまま表示される ・「カテゴリー設定」ができない ・「コメント作成・表示」ができない ・「予約投稿」ができない ・「アクセス数の日時推移」が表示されない …■ 上記のような状況がずっと続いているため、読む側にとっても不快極まりないこととは思いますが、私にはどうすることもできません…■ このような一方的な横暴を看過する訳にはいかないので、せめてもの抗いとして、ブログの更新だけは続けていきます。■ もし、ずっと更新されないままだった場合は、言論封殺が実行されたと思ってください。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【解説】 まずは、 「正三角柱の上下底面の1辺の長さ（=a）」 を求めなければなりませんね。■ 与条件から、 「合同な直角三角形の斜辺」 であることを確認した上で、 「AQ=PQ=√(a×a+16)」 と導いておきましょう。■ つまり、 「△QAPは底角30゜の二等辺三角形」 となるので、 「APの長さをaを用いて表す」 ことができますね。■ そして、 「△ABPにおいて三平方の定理」 を用いて解けば、 「a=2√2」 と求まります。■ 求める立体が五面体となることはわかると思いますが、求め方は色々ありますね。■ 「四角錘」 と捉えてもいいですし、 「断頭三角柱」 と捉えてもいいでしょう。■ ∴五面体=8√3■■■ （2023日大二・改題）
平行四辺形を題材とした“ちょいオモ”比問題
平行四辺形に様々な線分を交差させた上で比を求めさせるような問題は、受験生ならば飽きるほど取り組んできたことと思います。■ しかしながら、あまり見かけたことのないような“ちょっとオモシロイ”問題が、しかも公立校入試で出題されました。■ 実際の問題では誘導設問があるのですが、例によって誘導なしでトライしてみましょう。■ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【問題】 平行四辺形ABCDの辺BC上に、「∠ABD=∠AEDとなる点E」をとる。 線分AEと線分BDの交点をFとし、∠ABCは鈍角とする。 △FBEと△DECの面積比が9:16のとき、AD:BEを求めよ。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 【解説】 まずは、 「△ABF=△DEF」 を確認しておきましょう（∵AD〃BE）。■ また、 「△AED=△ABE+△CDE（=平行四辺形ABCD×1/2）」 であることもわかりますね。■ さらに、 「△FBE=9,△DEC=16」 とすると、 「△AFD=9+16=25」 が導け、 「△AFD∽△BFE(orEFB)」 であることから、 ∴AD:BE=5:3 ■■■ （2023福井県立・改題） ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【2024/1/5(不具合発生215日目)】依然として運営サイドによる是正措置なし! ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6/5より正常に投稿ができなくなって以来、6ヶ月以上不具合等のアナウンスは全くなく、運営サイドによる是正措置も全くないままです。■ ・「改行」が全く行われないまま表示される ・「カテゴリー設定」ができない ・「コメント作成・表示」ができない ・「予約投稿」ができない ・「アクセス数の日時推移」が表示されない …■ 上記のような状況がずっと続いているため、読む側にとっても不快極まりないこととは思いますが、私にはどうすることもできません…■ このような一方的な横暴を看過する訳にはいかないので、せめてもの抗いとして、ブログの更新だけは続けていきます。■ （※更新できたので、まだ言論封殺は実行されず。）
気を抜いているとミスしがちな小問
“あるレベル以上”の学校の入試問題の場合は、簡単そうな問題をナメてかかってしまうと、痛い目に遭うこともあります。■ どの設問に対しても、「決して油断することなく取り組む姿勢は必須」と心しておきましょう。■ と、前振りしておけば、まさか間違うことはないとは思いますが…■■■ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【問題】 正の整数nは4個の整数a,b,c,dを用いて n=(a×a-1)(b×b-2)(c×c-3)(d×d-4) と表されるものとするとき、nの最小値は？ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【解説】 題意を満たすために、 「( )の中が0にならない」 ように注意しながら、 「その絶対値ができるだけ小さくなる」 ように考えていくと思います。■ その結果、 「a=2,b=2,c=2,d=3」 という場合にたどり着いてしまいがちですね。■ 「“正の整数”」 という条件に引っ張られて、ついつい 「各( )の中を“正”とする」 ように考えてしまいがちなところが、この問題のミソです。■ 「( )の中が“負”」 となる場合があったとしても、それが 「“偶数個”あるならば題意を満たす」 ということに気づけば、 「a=0,b=1,c=2,d=3」 となる場合にたどり着けるので、 「nの最小値=5」 という正答を導き出せるはずですね。■ 急いでいたり油断していたりすると、ミスを犯してしまいがちなので注意しましょう。■■■ （2023福岡大学附属大濠） ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【2023/12/26(不具合発生205日目)】依然として運営サイドによる是正措置なし! ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6/5より正常に投稿ができなくなって以来、6ヶ月以上不具合等のアナウンスは全くなく、運営サイドによる是正措置も全くないままです。■ ・「改行」が全く行われないまま表示される ・「カテゴリー設定」ができない ・「コメント作成・表示」ができない ・「予約投稿」ができない ・「アクセス数の日時推移」が表示されない …■ 上記のような状況がずっと続いているため、読む側にとっても不快極まりないこととは思いますが、私にはどうすることもできません…■ こんな一方的な横暴を看過する訳にはいかないので、せめてもの抗いとして、ブログの更新だけは続けていきます。■ （※更新できたので、まだ言論封殺は実行されず。）
