“不向きな”こどもには無理強いしないこと！

まずは、次の問題を読んでみてください。

 

 

【問題】

A地点とB地点を結ぶ一本道を、

「PさんとQさんはA地点からB地点へ」、

「RさんはB地点からA地点へ」、

それぞれ一定の速さで移動する。

QさんとRさんはPさんが出発してから15分後に出発し、PさんとRさんがすれ違ってから2分40秒後に、QさんとRさんはC地点ですれ違い、PさんとQさんはB地点に同時に着いた。

QさんとRさんの速さの比を3:2とするとき、PさんがC地点を通過したのは、QさんとRさんがすれ違う何分前か？

 

 

これは、定番とも言える分野の中学入試問題をアレンジしたものなのですが、はっきり言って大人でも頭が混乱すると思います。

 

しかし、受験算数で鍛えてきた“受験戦士”たちにとっては、それほど驚くべき問題ではありません。

 

なぜなら、何度も解いたであろう内容であり、“この類の問題に対応する術”を知っているからです。

 

 

しかし、中学受験を経験していない学生や、学生時代からはそれなりに月日が経った大人にとっては、悪戦苦闘する人の方が多いでしょう。

 

「方程式を立てれば解けるでしょ」

と臨んでみたとしても、その方法で解くにはかなり厄介だからです。

 

 

一番最初にこの類の問題を考えついた人は、「画期的！」とほくそ笑んだかもしれませんが、所詮は「いかに解けないように工夫するか」が目的でしかなく、“難解ななぞなぞ”を出題して鼻高々になられたところで、白々と“拍手”を送るだけです。

 

その対処法を一度知ってしまえば何てことはなく、またたとえ知ったところで、

“今後の何らかの学びに寄与する訳でもない”

ということをしっかり理解しておくことは大切です。

 

入試という一発勝負の場での、

“人を篩にかけるためだけの手段”

に過ぎず、特に受験算数を得手としないこどもたちが、必死な思いで対処法をマスターしたところで、得るものは微々たるものでしかありません。

 

 

ただ、いわゆる

“地頭のいいこどもたち”

は、このような問題を解くことに

“脳が快感を覚える”

ので、難解であればあるほど、どんどんのめり込んでいきます。

 

だから、

“受験算数を好物”

としている場合が多いです。

 

 

しかし、受験算数にはあくまで

“向き不向きがある”

ということを、小学生のお子さんがいらっしゃる保護者の方々にはしっかり理解しておいていただきたいと思います。

 

もしも、

「“不向きな”お子さんに無理強いする」

ようなことをしてしまうと、

“受験算数は毒にもなり得る”

ということを…

 

 

 

【答え】6分前

 

いわゆる

“ダイアグラム問題”

ですね。

 

「グラフ上で平面幾何の原理（相似）を用いて解く」

という異種分野の融合問題となります。

 

それさえ知っていれば、あっさり解けてしまいますね。

 

 

※今年のある中学校の入試問題なのですが、その学校を批判している訳では全くなく、どこの中学校でも普通に出題される問題です。むしろこの学校の入試問題は、良問が多く模試がわりに解かせることを勧めています。

補助線の引き方を練習する問題

数学の幾何問題を解く際の重要な一手ともなる「補助線」。

 

中には、「え～っ！そんなところに？」と文句をつけたくなるようなアクロバティックな補助線が必要な問題もありますが、大概の入試問題は、論理的に考えていけば引ける補助線で対応できるはずです。

 

 

問題文がわずか1～2行であっても、ダラダラの長文であっても、

“与条件こそが全て”

というところが、数学の問題を取り組みやすいものへとしてくれていますね（現実社会の諸問題とは違って…）。

 

ですから、与条件を漏れなくチェックしたら、幾何問題においては、それをできるだけ忠実に反映した図を描くことが解決へ向けての近道となります（“視覚情報”は結構重要です）。

 

その図を元に考えれば、引くべき補助線が何となく浮かんでくるはずです（多少は慣れが必要かもしれませんが…）。

 

 

今回の問題は高校入試レベルではありますが、「三角形の合同を導ける」ならば誰でも解くことができます。

 

一見難しく感じるかもしれませんが、与条件をよく読んで取り組めば、「補助線をどこにどのように引けばいいか」がわかるはずです。

 

決してアクロバティックなものではなく、

“論理的に考えてごくごく自然に浮かんでくるもの”

でいいのです。

 

※それでも太刀打ちできない問題であったならば、入試の際には“後回しにすべき問題”だということです。

 

 

 

【問題】

AB＞ACの△ABCの辺BCの中点をDとする。

線分AD上にAC=BEとなる点Eをとり、さらに点Cから線分ADに下ろした垂線との交点をFとする。

このとき、△ABEと△CDFの面積比を求めよ。

 

 

 

これは、今年のある高校入試問題から思いついた問題ですが、前述した通り“現中2生”でも十分に解ける内容です。

 

まずは、与条件を反映した図を大きく描きましょう。

 

当然、人によって描く三角形に違いはあるものの、与条件を反映してさえいれば、誰でも同じ答えに帰着します。

 

それを理解してもらうためにも、本ブログでは「図を自ら描いて解く」体裁の問題文にしています。

 

 

（注記）

「小学生」または「注意不足の中学生」に向けて記しておきます。

 

“線分”と“直線”の違いをしっかり把握した上で問題に取り組みましょう。

 

「線分AD; 点Aと点Dを通る直線のうちA～D間のみの部分」

であり、例えば

「直線AD; 点Aと点Dを通る端点のない無限な一直線」

を意味します。

 

ですから、

「線分AD上に点E,Fがとれない図」

を描いて考えるのは、与条件と合致しないことになります。

 

つまり、いくら人それぞれとは言え、

「BD(=CD)＞ACとなる△ABCを描いて考えてはいけない」

ということです。

 

入試などでは、上記のようなミスを防ぐために、不必要とも言える過剰な条件を記すこともありますが、日頃から

「問題文に記された与条件を正確に読み取る」

訓練はしておきましょう。

 

 

 

【解説】

引くべき補助線は、

「点Bから直線ADへの垂線（交点をG）」

ですね。

 

「AC=BE」

という与条件から、

「△ACFと合同な直角三角形をつくる」

という発想は“ごくごく自然なもの”ですね。

（※もし同感できないならば、もう少し“慣れる”訓練を積む必要があるでしょう。）

 

すると、

「△BGD≡△CFD」

から、

「GD=FD」(*1)

となります。

 

前段の

「△ACF≡△EBG」

より、

「AE=FG」(*2)

が導けるので、(*1),(*2)より

「AE:DF=2:1」

 

∴△ABE:△CDF=2:1

“美しい”整数を調べてみよう！

入試もほぼ終わり余裕のあるこの時期、「整数」に首を突っ込んでみてはいかがでしょうか。

 

整数に関する様々な性質は、何かを習った後でないと学べないものではなく、いつでも誰でも学び始められます。

 

ですから、早いうちに取り組み始めた方が、もし興味を持てるのであれば、今後に色々と役立てられます。

 

その過程で、もし“美しさ”まで感じることができれば、「整数問題」を得手とする道の入口に立っていると言えるでしょう。

 

 

例えば、

「その数自身を除いた全ての約数の和」

で表すことができる、

【完全数】

は知っている人も多いかもしれません。

 

初見の人のために記しておくと、最小の完全数は、

「6=1+2+3」

で、その次は

「28=1+2+4+7+14=1+2+3+4+5+6+7」

となります。

 

どうでしょう、“美しい”と感じますか？

 

では、

「その次の完全数はいくつになるか」

調べてみましょう。

 

 

また、古くから親しまれてきた

【小町算】

も“美しさ”を感じられるものの一つでしょう。

 

中学課程に入ると「負の数」を扱うようになるので、その導入で例えば

「1～8の8個の異なる1桁の整数と+,-を用いた式=0」、

「12□3□4□5□67□8□9=100」

となる式を作ったりすることでしょう。

 

 

毎年、かなりの難問になることもある「最後の大問」が十八番である都立西でも、“美しい”整数に関する出題がありました。

 

先日言及した「都立(一般)入試/数学の易化」と同様の影響があるのか、今年の都立西の最後の大問も比較的取り組み易い内容でした。

 

I.C.U.の入試問題を彷彿とさせる長文の出題形式でしたが、多数の文字に振り回されなければ、内容的には平易なことを問うているに過ぎません。

 

毎年かなりの難問となる最後の設問は、

「(a+b+c)の3乗=100a+10b+c」(*1)

（aは1～9の整数、b,cは0～9の整数）

となる整数があることに言及した上で、

「(p+q+r+s)の4乗=1000p+100q+10r+s」(*2)

（pは1～9の整数、q,r,sは0～9の整数）

を求めさせるものでした。

 

(*1)は、いわゆる【デュードニー数】で、別にこの名前やどんな数かなどは知らなくても、何の問題もありません。

 

a,b,cの条件からは、

「1≦a+b+c≦27」

となりますが、

「3乗して3桁の整数」

でなければならないので、

「5≦a+b+c≦9」

とわかりますね。

 

ここまで絞り込んでおけば、後は5個の計算をするだけで、

「(5+1+2)の3乗=512」

と導けますね。

 

同様に考えていけば、(*2)を満たす整数も簡単に求められるはずです。

 

 

かつての偉人たちによって、様々な“美しい”整数が見つけ出されており、それらを調べていくだけでも良質な勉強となることでしょう。

都立・神奈川県立入試/数学(2024)を概観して

コロナ禍など気にすることもなく、この2年間なぜか“上振れ”した内容で実施されてきた【神奈川県立入試/数学】でしたが、先日実施された今年の入試問題は「ほぼ従来通りのレベル」に戻ってきた感があります。

 

依然として「しっかり考えさせる内容」ではあるものの、幅広い受験生達が立ち向かえるレベルであったと思います。

 

今年の受験生は、ほぼ通常通りの状況で中3課程を学んできたこともあり、平均点も60点くらいまでアップするのではないでしょうか。

 

 

一方【(一般)都立入試/数学】では、ずっと易化が続いており、神奈川県立との内容的なレベル差がかなり目立っていました。

 

「なぜだろう…？」と、このところの一般都立入試の平均点を調べてみると、「あのレベルの問題でこの点数？」という状況が続いており、問題作成サイドとしても「易化を続けるしかない…」という状況だったと想像されます。

 

「コロナ禍での難化傾向の入試問題」を乗り切ってきた神奈川県の受験生に比して、「易化を続けた入試問題」に対しても結果を残すことができなかった都内の受験生は、

“コロナ禍の影響をかなり受けている可能性が高い”

と判断されます。

 

おそらく、塾や家庭教師などから指導を受けてきた場合は何とかリカバーできたとしても、ずっと家庭で独自勉強をせざるを得なかった生徒たちの学力低下が、思いのほか激しかったのではないでしょうか。

 

進学指導重点校などを受験する“いわゆる成績上位グループ”の生徒たちは、各校が作成した独自問題で受験することになるので、幅広い都内の受験生が対峙する【(一般)都立入試/数学】では「内容的には易化しているのに平均点が低い…」状況が続いていたのだと想像します。

 

逆に言えば、「駒場・小山台・町田など」の一般問題で受験する学校の場合は、「数学では（皆高得点で）差がつかない」状況が続いていたのではないでしょうか。

 

神奈川県立の一週間後に実施された今年の都立入試のレベルも、案の定「さらに易化」したものとなっていました。

 

「このレベルで本当に大丈夫なの…？」と心配してしまうくらいですが、前年までの結果を踏まえれば、問題作成サイドとしてはやむを得ない状況だったのでしょう。

 

しかし都内の受験生も、今年度はほぼ通常通りの状況で少なくとも中3課程を学んできたこともあり、今年こそは平均点が何とか回復してくると思われます。

 

 

「コロナ禍に伴うこどもの学力低下への影響」は思いのほか大きいと考えざるを得ないことがわかってきたので、指導する側としては改めて「慎重に接する必要性」を感じた次第です。

ついに言論封殺に向けて動き出したようです…

国立、県立、都立の入試が近づいていたので、ブログの更新ができないままであったところ、ついに当ブログへのアクセスへのハードルを、運営サイドが勝手に上げてきたようです。■ 何の悪意もないブログ運営をしているにもかかわらず、「アクセスした人たちの情報をかすめ取るサイト」であるかのように、 “ブログのアドレスから「https」が取られた” ようなものに、運営サイドによって勝手に変更されてしまったようです。■ 私には、対抗する術も知識もないので、正に言論封殺されたも同然です。■ 今後はどうなるかはわかりませんが、見守ってもらうしかありません。■ もし、ずっと更新されないままだった場合は、言論封殺が完全に実行されたと思ってください。■ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【2024/2/19(不具合発生260日目)】依然として運営サイドによる是正措置なし! ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6/5より正常に投稿ができなくなって以来、8ヶ月以上不具合等のアナウンスは全くなく、運営サイドによる是正措置も全くないままです。■ ・「改行」が全く行われないまま表示される ・「カテゴリー設定」ができない ・「コメント作成・表示」ができない ・「予約投稿」ができない ・「アクセス数の日時推移」が表示されない …■ 上記のような状況がずっと続いているため、読む側にとっても不快極まりないこととは思いますが、私にはどうすることもできません…■ このような一方的な横暴を看過する訳にはいかないので、せめてもの抗いとして、ブログの更新だけは何とか続けていきたいと思っています。

【2024/2/24(不具合発生265日目)】

6/5より正常に投稿できなくなって以来、8ヶ月以上不具合が続いていましたが、ついに新たなフェーズへと歩を進めてきたようです。

 

「当ブログのアドレスが“httpsではないもの”へと勝手に変更された」

と思っていましたが、どうやら

「このブログの投稿などを行う個人的なサイトのアドレスが“httpsではないもの”へと勝手に変更された」

もしくは、

「このサイトへの何らかの接続妨害をされている」

ようです。

 

ですから、

「何らかの情報を抜き取られる対象は“私”」

であり、閲覧する皆さんには影響がないことかもしれません。

 

とすると、

「何らかの情報を抜き取られることを避けるためにブログの更新を諦めるだろう」

という魂胆なのかもしれません。

 

この辺も詳しくないのではっきりしたことはわかりませんが、それを実施しているのは「運営サイド」と考えるのが妥当なのではないでしょうか。

 

なぜこのようなことをしてくるのか、本当に理解に苦しみますが、とにかく諦めたら相手の術中にはまったも同然なので、何とかブログの更新は続けていきます。

 

学生の皆さんは、とかく権威的なものに振り回されがちな年代でもありますが、もし自らが信じる正義に照らし合わせて「どう考えてもおかしい」と感じる事態に遭遇したならば、決して諦めずに声を上げ続けましょう。

 

フェーズが変わったせいかは不明ですが、「改行、カテゴリー設定、コメント作成・表示」は行えるようになったようなので、アクセスしてもらえたならば、従来通りの体裁で読んでいただけると思います。

 

またいつ状況がどのように変化するかは全く予想もつきませんが、もし、ずっと更新されないままだった場合は、さらにフェーズが進んで言論封殺が完全に実行されたと思ってください。

西暦年数“2024”問題

定番の「西暦年数問題」を最後にやっておこうと思いますが、今年の受験生であれば、「2024の素因数分解」は当然すぐにできるはずですね。■ もし、すぐに頭に浮かばないのであれば、万が一出題された場合の時間短縮を図るためにも、今のうちにやっておきましょう。■ 下記の問題は、今年の中学入試で出題されたものなのですが、高校入試問題としても十分通用するような内容なので、入試直前の確認がてらやってみてはいかがでしょうか。■■■ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【問題】 「分母2024がで分子が2～2023の異なる整数」 である2022個の分数を考える。 これらの分数の中で、 「約分すると分子が1になる分数」 を全てかけ合わせると、分母は4で最大何回割り切れるか？ （※但し、約分した後の分数をかけ合わせること。） ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【解説】 題意より、かけ合わせる分数は 「“分子が2024の約数”である分数」 ということがわかりますね（※約分する前の段階で）。■ 「分子が1と2024の分数は除外される」 ことになるので、 「14個の分数をかけ合わせる」 ことになります。■ つまり、 「約分する前の分母の積は2024の14乗」 となる訳ですが、 「約分した後の分母の積」 で考えなければ正解は導けませんね。■ そこで、 “約数の積” の性質を用いることにしましょう。■ 約分する前の分子の積は 「1と2024を除外した14個分の約数の積」 となるので、 「2024の7乗」 となることから、 「約分した後の分母の積を素因数分解」 すると、 「2の21乗」 が含まれることがわかりますね。■ ∴4で最大10回割り切れる■■■ （2024西大和学園中・改題）

開成中「算数」入試問題（2024）について

首都圏の高校入試直前のこの時期、何かオモシロイ問題はないかと「算数の中学入試問題」も一応チェックしてみるのですが、難関校の入試問題をみていてある意味感心させられたことがありました。

 

開成中の問題を最初から通しでチェックしてみたのですが、冒頭の2問から

「“ある類の受験生”を選別しているな…」

と強く感じさせられました。

 

 

まず最初に、よくクイズにも出るような「ある整数をつくる数式」問題が登場します。

 

時間さえあれば、理詰めで正答まで導くことも可能なのですが、条件から「最低でも5個以上必要」とはわかるものの、いきなりそこを狙いにいくと思わぬ時間を使ってしまう可能性もあります。

 

そこで、素因数分解した結果から「6個の場合の解答」を得ることは容易なので、ひとまずそこまで出したら次の問題に進むのが大方の流れだとは思います（余裕があれば戻ってきて再考しよう、と）。

 

すると、次に控えているのは「比重の異なる金属棒」問題です。

 

これも目新しいものではないので、「楽勝！楽勝！」と解き進めていくと、（ァ）だけは条件を正確に把握していなくとも解けてしまいます。

 

ところが（ィ）での思わぬ行き詰まりに、諦めてしまった受験生も多かったことでしょう。

 

それは、“サラッと書かれている条件設定”を正しく把握していないことによるものです。

 

「数学」の問題においては、まずお目にかかることのないような条件設定なので、さして気にもとめないまま方程式を立てて臨もうとすると、中学生以上であっても悪戦苦闘してしまうことでしょう。

 

“受験算数”を学んできた歴戦の受験戦士ならば、「面積図」を用いて解くことが多いでしょうから、方程式で臨もうとする場合よりも、“条件設定の意味”に気づきやすいとは思います。

 

とは言え、「面積図」の原理をしっかり理解せずに、単なる“解く手段”としてしか用いてこなかったような場合は、正答にたどり着けなかったことでしょう（ここを志望する受験生の中には少ないでしょうが…）。

 

 

これら“冒頭の2問”で、どのような能力が問われているかというと、いわゆる“地頭の良さ”と言われるようなものでしょう。

 

「教えられたことを一切ミスなく実践できる優秀さ」だけならば、思わぬ時間を使ってしまったり、完答できなかったりするところを、“知能指数の高い捉え方”ができる受験生は、サラッと正答を導いたのではないかと思います。

 

よって、“冒頭の2問”でペースを乱されることなく、その後に控える大問に立ち向かえたことでしょう。

 

 

開成中が「どのような生徒に来てほしいか」は周知のことなので、このような出題でさらに合点がいくことではあり、何の異論もありません。

 

“地頭の良さ”を持つ人に負けないように、何とか“努力の積み重ね”でも対抗できるような地力をつけさせてあげられるよう、日々模索しているところですが、「深く考えさせるための条件設定の仕方」については、改めて感心させられた次第です。