数学の幾何問題を解く際の重要な一手ともなる「補助線」。
中には、「え～っ！そんなところに？」と文句をつけたくなるようなアクロバティックな補助線が必要な問題もありますが、大概の入試問題は、論理的に考えていけば引ける補助線で対応できるはずです。
問題文がわずか1～2行であっても、ダラダラの長文であっても、
“与条件こそが全て”
というところが、数学の問題を取り組みやすいものへとしてくれていますね（現実社会の諸問題とは違って…）。
ですから、与条件を漏れなくチェックしたら、幾何問題においては、それをできるだけ忠実に反映した図を描くことが解決へ向けての近道となります（“視覚情報”は結構重要です）。
その図を元に考えれば、引くべき補助線が何となく浮かんでくるはずです（多少は慣れが必要かもしれませんが…）。
今回の問題は高校入試レベルではありますが、「三角形の合同を導ける」ならば誰でも解くことができます。
一見難しく感じるかもしれませんが、与条件をよく読んで取り組めば、「補助線をどこにどのように引けばいいか」がわかるはずです。
決してアクロバティックなものではなく、
“論理的に考えてごくごく自然に浮かんでくるもの”
でいいのです。
※それでも太刀打ちできない問題であったならば、入試の際には“後回しにすべき問題”だということです。
【問題】
AB＞ACの△ABCの辺BCの中点をDとする。
線分AD上にAC=BEとなる点Eをとり、さらに点Cから線分ADに下ろした垂線との交点をFとする。
このとき、△ABEと△CDFの面積比を求めよ。
これは、今年のある高校入試問題から思いついた問題ですが、前述した通り“現中2生”でも十分に解ける内容です。
まずは、与条件を反映した図を大きく描きましょう。
当然、人によって描く三角形に違いはあるものの、与条件を反映してさえいれば、誰でも同じ答えに帰着します。
それを理解してもらうためにも、本ブログでは「図を自ら描いて解く」体裁の問題文にしています。
（注記）
「小学生」または「注意不足の中学生」に向けて記しておきます。
“線分”と“直線”の違いをしっかり把握した上で問題に取り組みましょう。
「線分AD; 点Aと点Dを通る直線のうちA～D間のみの部分」
であり、例えば
「直線AD; 点Aと点Dを通る端点のない無限な一直線」
を意味します。
ですから、
「線分AD上に点E,Fがとれない図」
を描いて考えるのは、与条件と合致しないことになります。
つまり、いくら人それぞれとは言え、
「BD(=CD)＞ACとなる△ABCを描いて考えてはいけない」
ということです。
入試などでは、上記のようなミスを防ぐために、不必要とも言える過剰な条件を記すこともありますが、日頃から
「問題文に記された与条件を正確に読み取る」
訓練はしておきましょう。
【解説】
引くべき補助線は、
「点Bから直線ADへの垂線（交点をG）」
ですね。
「AC=BE」
という与条件から、
「△ACFと合同な直角三角形をつくる」
という発想は“ごくごく自然なもの”ですね。
（※もし同感できないならば、もう少し“慣れる”訓練を積む必要があるでしょう。）
すると、
「△BGD≡△CFD」
から、
「GD=FD」(*1)
となります。
前段の
「△ACF≡△EBG」
より、
「AE=FG」(*2)
が導けるので、(*1),(*2)より
「AE:DF=2:1」
∴△ABE:△CDF=2:1
