前回に引き続き、半円を題材とした、
「線分比～面積比の変換」
の練習問題です。
必ずと言ってもいいくらい、どこかで見かけたことがある図だと思います。
一般の県立入試問題ですが、「比の変換」ができないと、解けない可能性もあるでしょう。
しかし、もうヒントを与えたも同然なので、解ききれなければいけませんね。
【問題】
線分ABを直径とする半円弧上に点C,Dをとり、直線ADと直線BCの交点をEとする。
また、線分BDと線分ACの交点をFとし、線分EFと線分CDの交点をGとする。
AD=5,DE=3,BC=2のとき、線分EGの長さを求めよ。
（答え；12√39/23）
【解説】
「線分の長さ」
を求めるには、
「相似か三平方」
を用いるのが基本スタンスですね。
しかし、どちらを用いても、一発で線分EGは求まりそうにありませんね。
そこで、視点を変えて
「線分EF」
ならば、直角三角形の斜辺なので求まりそうです。
そこから、
「EG:GF」
の比がわかれば、線分EGは求まりますね。
このように、
「“逆算”から解く方針を立てる」
ようにすれば、無駄な検討をせずに済みますね。
まず、
「△ACE∽△BDE」
より、
「EC=4」
を導きましょう。
すると、三平方より、
「AC=4√3」
また、
「△ACE∽△ADF」
より、
「AF=10√3/3」
と求まるので、
「FC=2√3/3」
つまり、
「AF:FC=5:1=△ADF:△CDF」
また、題意より、
「△CDA:△CDE=5:3」
よって、
「△CDE:△CDF=18:5=EG:GF」
ここで、△CEFで三平方より、
「EF=2√39/3」
であることから、
∴EG=12√39/23
