「三平方の定理」を出題範囲から除外して、一体どのような出題内容にするのだろうか？と思っていたら、例年通りの出題スタイルで「三平方」だけ除外された内容でしたね。
但し、「三平方」を使うことで簡単に解いてしまうことがないように、よく練られた平面幾何問題もありました。
問題作成者に賛辞を送りたいと思います。
大問【4】の最後の設問がそれです。
【問題】
円Oに内接する長方形ABCDがあり、AB=16,AD=8とする。
弧CD上にAB=APとなるような点Pをとり、線分AP,BPと線分CDとの交点をそれぞれQ,Rとするとき、△PRCの面積を求めよ。
（答え；48/5）
【解説】
まず、題意より、
「△QPRは二等辺三角形」
なので、
「PQ=QR」
となりますね。
そして、
「△ACD≡△CAP」
から、
「PQ=DQ」
が導けるので、つまり
「PQ=DQ=QR」(*1)
とわかります。
また、
「△ABC∽△BCR」
であることもわかるので、BC=8より、
「CR=4」(*2)
とわかります。
よって(*1),(*2)より、
「PQ=DQ=QR=6」
と求まるので、
∴△PRC=8×6×1/2×4/(6+4)=48/5
合同・相似な三角形を見つけ、最後は「線分比と面積比の変換」のみで答えにたどり着けるようになっています。
「三平方」を使っても近道とはならないように作成されており、この特殊な状況下において“賛辞を送るべき良問”だと思います。
一方で、「都立日比谷」の入試問題はかなり平易なレベルにとどまっており、かなりの高得点での争いになりそうです。
やはり、「三平方」を除外して難易度を維持した幾何問題を作成することは難しいですね。
