半円弧を等分する点（2022市川・改題）

設定としては、前回の「円周を等分する点」の派生バージョンですが、別の分野の平面幾何問題となっています。

 

あまり見慣れない出題であるが故に、受験生の思考力を刺激するちょっとオモシロイ問題となっています。

 

 

【問題】

線分ABを直径とする半円があり、半円弧を6等分する点C,D,E,FGが順番に並んでいる。

(1) AB=2のとき、

の値を求めよ。

(2) a＞0,b＞0とする。

のとき、abの最大値を求めよ。

 

 

【解説】

この問題は「相似」ではなく、「三平方の定理」を用いて解いていく問題ですね。

 

(1)

=

=

=14

 

(2)

と考えて、

「斜辺2で他の辺がa,2bの直角三角形」

をイメージしましょう。

 

すると、

「この直角三角形の面積はab」

となり、その最大値は、

「直角二等辺三角形」

の場合なので、

∴abの最大値=1

 

 

 

なお、同校の今年の入試問題は、全体として良問が多く、模試（上位向け）代わりに解いてみることを勧めます。