下記の問題は、広島県立入試で出題されたものです。
何はともあれ、まずは解いてみましょう。
なお、下記の設問の前に「△BFEが二等辺三角形である」ことを証明させています。
【問題】
下図のように、
「AB=ACである二等辺三角形ABC」
の辺AC上に点Dがある。
辺BC上に、∠BDE=∠CDEとなるように点Eをとる。
線分DEの延長上に、∠DBF=∠ABCとなるように点Fをとる。
AB=6,△AFC=10,四角形BFCD=15のとき、BD+DCを求めよ。
（答え；9）
高校生以上だと意外と悪戦苦闘し、現時点の中3生以下の方が簡単に解いてしまうかもしれませんね。
小学生でも、高学年ならば十分に解ける内容です。
様々な定理などを学んだ後だと、逆にあれこれ深読みしすぎて時間がかかってしまったり、解けなかったりすることも十分に想定できる問題でしょう。
しかも、前設問の「△BFEが二等辺三角形である」ことは、全く用いずに解けてしまうところもミソです。
【解説】
まず、
「AB=6,△AFC=10」
から導けることは、
「点Fから直線ACまでの距離」
ですね。
「点Fから辺ACに下ろした垂線の足をG」
とすると、
「FG=10/3」
と求まります。
次に、
「∠BDE=∠CDE」
という条件の扱い方がカギとなってきます。
「角の二等分線の性質」
を用いて考えていきたくなりますが、
「点Fから辺BDに下ろした垂線の足をH」
として、
「FH=10/3」
を導き出しましょう。
（∵△FGD≡△FHDより）
なぜならば、
「四角形BFCD=15」
という条件を生かすためです。
つまり、
「四角形BFCD=BD×FH/2+DC×FG/2」
となることから、
(BD+DC)×10/3×1/2=15
∴BD+DC=9
