「角の二等分線」に関する問題は、定番中の定番ですね。
それだけに、どのような出題パターンであっても、しっかりと解ききれるように準備しておく必要があります。
【問題】
△ABCにおいて、
∠Aの二等分線と辺BCとの交点をD、
∠Cの二等分線と辺ABとの交点をE、
線分ADと線分CEとの交点をFとする。
また、∠ABC=∠BCE,AC=5,CD=3とする。
このとき、線分BDの長さを求めよ。
【解説】
実際の入試問題とは違って、図をややいびつに描きましたが、こんなことに惑わされないようにしましょう。
気になる人は、迷わず図を描き直すべきでしたね。
参照→
https://mcafejr.hatenablog.com/entry/2019/11/16/図を描き直そう！
この問題での第一のポイントは、
「相似な三角形の把握」
です。
しかし、着目する「相似な三角形」を吟味しないと、面倒な計算を強いられることになります。
第二のポイントは、
「二等辺三角形の発見」
です。
では、具体的にみていきましょう。
着目すべき相似な三角形は、
「△ABD∽△ACF」
ですね。
（※△ABC∽△ACEに着目すると面倒ですね。）
上記の相似に着目するのは、
「△CDFが二等辺三角形」
だからですね。
△ACDに着目すれば、
AF:FD=5:3
となりますから、
AD:AF=8:5
よって、「△ABD∽△ACF」から、
BD:CF=8:5
ここで、
「△CDFが二等辺三角形」より、
CD=CF=3
となるので、
BD:3=8:5
∴BD=24/5
※△ABC∽△ACEに着目した場合は、
「△CDFが二等辺三角形」に気付かなくとも解くことはできます。
ですが、面倒な計算をしなくてはなりませんね。
