「平方根・因数分解」について一通り学んだら、その応用問題として“西暦年数問題”に取り組んでおきましょう（※当ブログでもいくつか取り上げています）。
さて、
1936=44×44
2025=45×45
は、覚えておいた方が何かと便利な“西暦年数”でしたね。
そこで、よく見てみると、
2025=(20+25)×(20+25)
と、オモシロイ数であることがわかります。
他にも、このような「4桁の整数」はあるのか、探してみましょう。
まず、
「千の位と百の位の数字からなる2桁の整数をA」,
「十の位と一の位の数字からなる1～2桁の整数をB」
とおきます。
（※「4桁の整数」なので、Aは必ず2桁でなければいけませんね。）
例えば、「2001」の場合は、
「A=20,B=1」
ということです。
すると、
「4桁の整数=100A+B」
と表せますね。
これより、
「100A+B=(A+B)(A+B)」
という方程式が立てられます。
後は、この2元2次不定方程式を解くだけです。
さぁ、今までやってきた方法が通用するか試してみましょう。
※因みに、前回の問題において、
「正方形BPQRの面積が20×20」
「正方形CRSTの面積が25×25」
であるとすると、
「正方形ABCDの面積が2025」
となりますね。
残念ながら、
「因数分解した式=整数」
の形には変形できないので、別の方法を探るしかありません。
(A+B)という式がいくつか両辺に“見える”ので、下記のように変形してみましょう。
（※慣れていないと中々できない変形かもしれません。）
99A+(A+B)=(A+B)(A+B)
(A+B)(A+B-1)=99A
この式の、
「左辺は“連続2数の積”」
を表し、
「右辺は“9の倍数かつ11の倍数”」
を表していますね。
まずは、
「(A+B)(A+B)が“4桁の整数”」
とならなければいけないので、
「A+B=32～99」
の場合で考えればよいことがわかります。
ということは、“(A+B)(A+B-1)”は、
「32×31,33×32,...,99×98」
となるので、その中から、
「9の倍数かつ11の倍数」
となるものを探せばいいですね。
「32～99で11の倍数」
は、
「33,44,...,99」
なので、
「その前後の数との積が9の倍数」
となるものを探せば、
「45×44,55×54,99×98」
の3通りしかないことがわかります。
よって、
(A,B)=(20,25),(30,25),(98,1)
∴2025以外の“オモシロイ4桁の整数”は3025,9801
