今年の西暦年数「2021」は、「20と21」という連続する2桁の整数から形成された4桁の整数とみることができますね。
そこに着想を得て、
「連続する3つの整数から形成された整数」
として、
「202122」
を用いた問題をちょっと考えてみました。
【問題-1】
18×19/202122=1/(23×24+□)
この式を満たすような、□に当てはまる数を求めよ。
（18～24の整数が順番に並んだ方程式ができるので、ちょっとキレイかな、と。）
【問題-2】
202122の正の約数の個数を求めよ。
（最初の問題を解いた後ならば取り組みやすいですが、定番問題ですね。）
ここで、「202122」のように、
“一の位から2桁ごとに区切って”
いったときに、それらが左から順番に連続する3つの整数であるような
“5～6桁の整数”
を考えます。
（※1桁の数は冒頭に0をつけて2桁の数と考えるものとします。）
例えば、
「91011」→「09｜10｜11」
「10203」→「01｜02｜03」
と捉え、上記に該当する整数とします。
しかし、例えば
「102」→「00｜01｜02」
と捉えることも可能ですが、“5～6桁の整数”ではないので除外することにします。
【問題-3】
そんな“5～6桁の整数”は、必ず1以外のある数の倍数となるが、何の倍数か？
また、その理由を簡潔に説明せよ。
（何の倍数かは、すぐ想像がつく思いますが、簡単に論証できるかがポイントですね。）
【解答-1】
□=39
【解答-2】
2×4×2×2=32個
【解答-3】
「100≡1(mod3)」
で、
「連続3数の和は3の倍数」
であるので、
「“5～6桁の整数”は必ず3の倍数」
となる。
