例えば、
「12と21」
は、
「位の数を入れ替えた2桁の自然数」
ですね。
これらの数の和は33で、
「11の倍数」
となりますが、これは、
「どんな2桁の自然数の場合にも成り立つ」
ことですが、その理由は簡単に導けると思います。
今回は、そんな2桁の自然数を用いた、
「√□が整数になる」
という定番問題をやっておきましょう。
【問題】
「十の位がx、一の位がy」の2桁の自然数Aと、
「十の位がy、一の位がx」の2桁の自然数Bがある。
x＞yとするとき、√(A×A-B×B)が整数となる(x,y)の組を全て求めよ。
（小学生用）
x＞yとするとき、A×A-B×Bが平方数となる(x,y)の組を全て求めよ。
（答え；(6,5)）
【解説】
まず、
A=10x+y,B=10y+x
より、
A×A-B×B
=(A+B)(A-B)
=3×3×11×(x+y)(x-y)
となりますね。
「√(A×A-B×B)が整数となる」
ということは、
「A×A-B×Bが平方数となる」
ということですから、
「(x+y)(x-y)が11×平方数」
となればいいですね。
ここで、
「x+y＞x-y＞0」
であることに注意しながら、
「(x+y)(x-y)が11,11×4,11×9,...」
の場合を検討していくと、
「(x+y)(x-y)=11」
の場合のみ適となります。
∴(x,y)=(6,5)
