定番の「西暦年数問題」のような体裁でありながら、ちょっとオモシロイ整数問題です。
【問題】
√(10x)+√(21y)を2乗すると自然数となるような、自然数(x,y)の組のうち、x+yの最小値を求めよ。
まずは、
「√□が自然数となる」
との設定での攻め方を再確認した上で、
「最小値となる」
にはどうであればよいかを考えましょう。
【解説】
まず、
「√(10x)+√(21y)の2乗」
は、
「10x+21y+2√(210xy)」
となるので、これが自然数となるためには、
「210xyが平方数」
であればいいですね。
ここで、
「210=2×3×5×7」
と素因数分解できるので、
「xyが(2×3×5×7)の奇数乗」
であれば、上記を満たしますね。
求めるものは、
「x+yの最小値」
なので、
「xy=2×3×5×7」
となることはわかると思います。
つまり、
「2×3×5×7」
を、
「2数の積」
に分解したときの、
「その2数の和の最小値」
を求めればいいですね。
ちょっと考えれば、
「“2数の積”は8パターン」
しかないことがわかるので、実際の入試の際には、その中から最小値となるパターンを選べばいいでしょう。
（2021城北）
中高一貫高生ならば、もう一歩踏み込んで、
「1＜a＜b＜c＜dを満たす4つの素数a,b,c,dがある。
この4つの素数を2組に分けたとき、それぞれの組の素数の積どうしの和が最小となる分け方を求めよ。」
というような問題に取り組んでみましょう。
さらに、
「最小となる分け方が同時に複数存在する場合があり得るか」
についても考えてみましょう。
“理詰め”のいい練習になります。
