受験生にとっては大詰めの時期となってきましたね。■ これから受験本番に向けては、立体問題を中心に、簡単そうで意外と時間がかかってしまうような問題を取り扱っていくことにしましょう。■ 精神的にも落ち着いた状態で、時間無制限で取り組んだのであれば、解けて当然の内容なのですが、 「プレッシャーのかかった状態で短時間に解ききれるか」 試してみましょう。■■■ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【問題】 正三角柱ABC-DEF（※斜角柱ではない）においてAD=10である。 辺BE上にEP=2となる点P、辺CF上にFQ=6となる点Qをとると、∠AQP=120゜となった。 この正三角柱を3点A,P,Qを通る平面で切断したとき、点Bを含む方の立体の体積を求めよ。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 【2024/1/15(不具合発生225日目)】依然として運営サイドによる是正措置なし! ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6/5より正常に投稿ができなくなって以来、7ヶ月以上不具合等のアナウンスは全くなく、運営サイドによる是正措置も全くないままです。■ ・「改行」が全く行われないまま表示される ・「カテゴリー設定」ができない ・「コメント作成・表示」ができない ・「予約投稿」ができない ・「アクセス数の日時推移」が表示されない …■ 上記のような状況がずっと続いているため、読む側にとっても不快極まりないこととは思いますが、私にはどうすることもできません…■ このような一方的な横暴を看過する訳にはいかないので、せめてもの抗いとして、ブログの更新だけは続けていきます。■ もし、ずっと更新されないままだった場合は、言論封殺が実行されたと思ってください。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【解説】 まずは、 「正三角柱の上下底面の1辺の長さ（=a）」 を求めなければなりませんね。■ 与条件から、 「合同な直角三角形の斜辺」 であることを確認した上で、 「AQ=PQ=√(a×a+16)」 と導いておきましょう。■ つまり、 「△QAPは底角30゜の二等辺三角形」 となるので、 「APの長さをaを用いて表す」 ことができますね。■ そして、 「△ABPにおいて三平方の定理」 を用いて解けば、 「a=2√2」 と求まります。■ 求める立体が五面体となることはわかると思いますが、求め方は色々ありますね。■ 「四角錘」 と捉えてもいいですし、 「断頭三角柱」 と捉えてもいいでしょう。■ ∴五面体=8√3■■■ （2023日大二・改題）
平行四辺形を題材とした“ちょいオモ”比問題
平行四辺形に様々な線分を交差させた上で比を求めさせるような問題は、受験生ならば飽きるほど取り組んできたことと思います。■ しかしながら、あまり見かけたことのないような“ちょっとオモシロイ”問題が、しかも公立校入試で出題されました。■ 実際の問題では誘導設問があるのですが、例によって誘導なしでトライしてみましょう。■ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【問題】 平行四辺形ABCDの辺BC上に、「∠ABD=∠AEDとなる点E」をとる。 線分AEと線分BDの交点をFとし、∠ABCは鈍角とする。 △FBEと△DECの面積比が9:16のとき、AD:BEを求めよ。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 【解説】 まずは、 「△ABF=△DEF」 を確認しておきましょう（∵AD〃BE）。■ また、 「△AED=△ABE+△CDE（=平行四辺形ABCD×1/2）」 であることもわかりますね。■ さらに、 「△FBE=9,△DEC=16」 とすると、 「△AFD=9+16=25」 が導け、 「△AFD∽△BFE(orEFB)」 であることから、 ∴AD:BE=5:3 ■■■ （2023福井県立・改題） ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【2024/1/5(不具合発生215日目)】依然として運営サイドによる是正措置なし! ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6/5より正常に投稿ができなくなって以来、6ヶ月以上不具合等のアナウンスは全くなく、運営サイドによる是正措置も全くないままです。■ ・「改行」が全く行われないまま表示される ・「カテゴリー設定」ができない ・「コメント作成・表示」ができない ・「予約投稿」ができない ・「アクセス数の日時推移」が表示されない …■ 上記のような状況がずっと続いているため、読む側にとっても不快極まりないこととは思いますが、私にはどうすることもできません…■ このような一方的な横暴を看過する訳にはいかないので、せめてもの抗いとして、ブログの更新だけは続けていきます。■ （※更新できたので、まだ言論封殺は実行されず。）
気を抜いているとミスしがちな小問
“あるレベル以上”の学校の入試問題の場合は、簡単そうな問題をナメてかかってしまうと、痛い目に遭うこともあります。■ どの設問に対しても、「決して油断することなく取り組む姿勢は必須」と心しておきましょう。■ と、前振りしておけば、まさか間違うことはないとは思いますが…■■■ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【問題】 正の整数nは4個の整数a,b,c,dを用いて n=(a×a-1)(b×b-2)(c×c-3)(d×d-4) と表されるものとするとき、nの最小値は？ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【解説】 題意を満たすために、 「( )の中が0にならない」 ように注意しながら、 「その絶対値ができるだけ小さくなる」 ように考えていくと思います。■ その結果、 「a=2,b=2,c=2,d=3」 という場合にたどり着いてしまいがちですね。■ 「“正の整数”」 という条件に引っ張られて、ついつい 「各( )の中を“正”とする」 ように考えてしまいがちなところが、この問題のミソです。■ 「( )の中が“負”」 となる場合があったとしても、それが 「“偶数個”あるならば題意を満たす」 ということに気づけば、 「a=0,b=1,c=2,d=3」 となる場合にたどり着けるので、 「nの最小値=5」 という正答を導き出せるはずですね。■ 急いでいたり油断していたりすると、ミスを犯してしまいがちなので注意しましょう。■■■ （2023福岡大学附属大濠） ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【2023/12/26(不具合発生205日目)】依然として運営サイドによる是正措置なし! ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6/5より正常に投稿ができなくなって以来、6ヶ月以上不具合等のアナウンスは全くなく、運営サイドによる是正措置も全くないままです。■ ・「改行」が全く行われないまま表示される ・「カテゴリー設定」ができない ・「コメント作成・表示」ができない ・「予約投稿」ができない ・「アクセス数の日時推移」が表示されない …■ 上記のような状況がずっと続いているため、読む側にとっても不快極まりないこととは思いますが、私にはどうすることもできません…■ こんな一方的な横暴を看過する訳にはいかないので、せめてもの抗いとして、ブログの更新だけは続けていきます。■ （※更新できたので、まだ言論封殺は実行されず。）
“山椒”のような小問集合
入試において「小問集合」といえば、確実に得点すべき問題として、合格へ向けては大切な関門でもありますね。■ かなりの難関校でない限りは、落ち着いて取り組んでいけさえすれば得点することができ、その後の大問を気持ちよく解いていくためのウォーミングアップともなるような位置付けの設問となります。■ とは言え、足下をすくわれるような仕掛けが施されていることも多いので、注意深く臨まなければなりませんね。■ 今回取り上げるものは、全て一つの学校の小問集合なので、なかなかのピリリととくるような小問を揃えたと思います。■ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【問題】 (1) 関数y=3×x×xにおいて、xの変域がa≦x≦2a+11のとき、yの変域が0≦y≦48となるような定数aの値を全て求めよ。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (2) 6つのデータ15,a,20,b,11,24がある。平均値が17、中央値が16.5のとき、a,bの値を求めよ。但し、a＜bとする。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ (3) AC=2√3+2,∠B=45゜,∠C=15゜である△ABCの面積を求めよ。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【解説】 (1) 「y=48となるときのxの値」 によって場合分けして考えていけばいいですね。■ 但し、必ず 「a＜0,2a+11＞0」 となることを忘れないようにして、 ∴a=-4,-7/2■ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (2) 平均値の条件から 「a+b=32」、 中央値の条件から 「No.3+No.4=33」■ これら4つのデータを混同してしまわないように注意して、 ∴(a,b)=(14,18)■ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (3) 「∠Aの外角=60゜」 であることから、 「60゜-30゜-90゜の直角三角形ACD」 を描き加えれば、 「DB=DCの直角二等辺三角形DBC」 ができるので、 「AB=2」 と求まりますね。■ ∴△ABC=3+√3■■■ （2023中大附属） ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 【2023/12/16(不具合発生195日目)】依然として運営サイドによる是正措置なし! ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6/5より正常に投稿ができなくなって以来、6ヶ月以上不具合等のアナウンスは全くなく、運営サイドによる是正措置も全くないままです。■ ・「改行」が全く行われないまま表示される ・「カテゴリー設定」ができない ・「コメント作成・表示」ができない ・「予約投稿」ができない ・「アクセス数の日時推移」が表示されない …■ 上記のような状況がずっと続いているため、読む側にとっても不快極まりないこととは思いますが、私にはどうすることもできません…■ このような一方的な横暴を看過する訳にはいかないので、せめてもの抗いとして、ブログの更新だけは続けていきます。■ しかし最近は、ついにログインしにくくなってきたりと、正に排除されかかっているのかもしれません。■ （※更新できたので、まだ言論封殺は実行されず。）
六角形の辺の長さ
今回取り扱うものは、問題文は短く、条件を反映させた図形も頭の中で何となくイメージできるものの、まずは実際に「図を描く」という作業を行わないことには解くことが難しいであろう問題です。■ 入試問題などでは、余計な誤解を避けるためもあって、与条件に沿った図が併記されていることが多いですね。■ しかし私立校入試などでは、そこを逆手にとって、わざと混乱させるような図を提示してくることもあります。■ 邪道極まりないこととは思いますが、“選別される場”としての入試においては、「騙される方が悪い」ということにならざるを得ないでしょう。■ そのようなことで泣きをみることがないように、とにかくまずは「与条件通りの図を描く」ことを習慣とするようにしておきましょう。■■■ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 【問題】 内角の大きさが全て等しく周長が39の六角形ABCDEFがある。 AB=8,BC=7,CD=6のとき、EFの長さを求めよ。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【解説】 まずは、 「1つの内角は120゜」 と求めてから、与条件通りの六角形を描いてみましょう。■ すると、 「辺ABと辺CDと辺EFを延長」 することで、“大きな正三角形”ができますね。■ ここで、 「EF=x,DE=m,FA=n」 とすると、まずは、 「x+m+n=39-8-7-6=18」 とわかりますね。■ これが、正に先程の“大きな正三角形”の1辺の長さとなることから、 「m=5,n=3」 とわかり、 ∴x=18-5-3=10=EF ■■■ （2023國學院久我山・改題） --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【2023/11/26(不具合発生175日目)】依然として運営サイドによる是正措置なし! ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6/5より正常に投稿ができなくなって以来、5ヶ月以上不具合等のアナウンスは全くなく、運営サイドによる是正措置も全くないままです。■ ・「改行」が全く行われないまま表示される ・「カテゴリー設定」ができない ・「コメント作成・表示」ができない ・「予約投稿」ができない ・「アクセス数の日時推移」が表示されない …■ 上記のような状況がずっと続いているため、読む側にとっても不快極まりないこととは思いますが、私にはどうすることもできません…■ このような一方的な横暴を看過する訳にはいかないので、せめてもの抗いとして、ブログの更新だけは続けていきます。■ しかし最近は、ついにログインしにくくなってきたりと、正に排除されかかっているのかもしれません。■ （※更新できたので、まだ言論封殺は実行されず。）
G.C.D.とL.C.M.に関する練習問題
整数関連で出題されやすい分野の一つとして、「最大公約数・最小公倍数」を絡めた問題がありますね。■ 定番問題はやり尽くしたでしょうから、少しは毛色の違った出題での練習をしておきましょう。■■■ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【問題-1】 2つの自然数a,b(a＜b)がある。 aとbの最大公約数をg、最小公倍数をlとすると、l/g=60である。 a+b=855のとき、aとbの値を求めよ。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【問題-2】 1から20までの自然数のうち、素数であるものの積をA、素数でないものの積をBとするとき、AとBの最大公約数を求めよ。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【解説-1】 まずは“鉄則”の流れで、 「a=gm,b=gn (m,nはm＜nで互いに素)」 とおくんでしたね。■ すると、 「l=gmn」 なので、 「mn=60」 となることから、 「(m,n)=(1,60),(3,20),(4,15),(5,12)」 と導けます。■ 「a+b=g(m+n)=855=3×3×5×19」 から該当するものを探せば、 「(m,n)=(4,15)」 しかないので、 「g=45」 となることから、 ∴a=180,b=675■■■ （2023愛光・改題） ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 【解説-2】 まず、 「A=2×3×5×7×11×13×17×19」 なので、 「B=上記以外の数の積」 となりますね。■ AとBの最大公約数を求めるので、 「Bの中にAの各素数の倍数が含まれているか」 を考えればいいですね。■ すると、題意より 「Bの中には11以上の素数の倍数は含まれない」 ことから、 ∴G.C.D.(A,B)=2×3×5×7=210■■■ （2023大阪教育大附属・池田） ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【2023/11/16(不具合発生165日目)】依然として運営サイドによる是正措置なし! ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6/5より正常に投稿ができなくなって以来、5ヶ月以上不具合等のアナウンスは全くなく、運営サイドによる是正措置も全くないままです。■ ・「改行」が全く行われないまま表示される ・「カテゴリー設定」ができない ・「コメント作成・表示」ができない ・「予約投稿」ができない ・「アクセス数の日時推移」が表示されない …■ 上記のような状況がずっと続いているため、読む側にとっても不快極まりないこととは思いますが、私にはどうすることもできません…■ こんな一方的な横暴を許す訳にはいかないので、せめてもの抗いとして、ブログの更新だけは続けていきます。■ しかし最近は、ついにログインしにくくなってきたりと、正に排除されかかっているのかもしれません。■ （※更新できたので、まだ言論封殺は実行されず。）
頻出四面体求積問題のアレンジバージョン
少し前まで、この類の四面体の求積問題は頻出していましたので、その対応策も広く行き渡っていると思います。■ しかし、その対応策を機械的に覚えるだけで満足しているようだと、例えば今回取り上げたような問題の場合は、見事に術中にはまってしまうことでしょう。■ と、警鐘を鳴らしておけば、ちゃんと解けますよね。■ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【問題】 直方体ABCD-EFGHにおいて「AB=6,AD=5,AE=7」である。 「辺CG上にPG=2となる点P」をとったとき、四面体AHFPの体積を求めよ。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ （※もし「183/4」と答えが出たならば正に引っかかってしまったことになりますね） -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【解説】 ポイントは、 「面ACGEと面BDHFは直交していない」 ところですね。■ そこを押さえずに、立方体の場合と同じように解いていってしまうことのないようにしましょう。■ 「切断して考える」 という方向性はそのままでいいので、2パターン考えられますが、今回は 「面BDHFで切断」 して解いていきましょう。■ まず、 「切断面の面積=9√61/4」 を求めておいてから、2つの三角錐のその面に対する高さを求めましょう。■ 「タテ5ヨコ6の長方形において対角線への頂点からの垂線の長さ」 がそれに相当するので、 「高さ=60/√61」 とわかりますね（計算の途中でわざわざ有理化する必要はありませんね）。■ ∴四面体AHFP=45 ■■■ （2023岩手県立・改題） ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【2023/11/1(不具合発生150日目)】依然として運営サイドによる是正措置なし! ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6/5より正常に投稿ができなくなって以来、4ヶ月以上不具合等のアナウンスは全くなく、運営サイドによる是正措置も全くないままです。■ ・「改行」が全く行われないまま表示される ・「カテゴリー設定」ができない ・「コメント作成・表示」ができない ・「予約投稿」ができない ・「アクセス数の日時推移」が表示されない …■ 上記のような状況がずっと続いているため、読む側にとっても不快極まりないこととは思いますが、私にはどうすることもできません…■ こんな一方的な横暴を許す訳にはいかないので、せめてもの抗いとして、ブログの更新だけは続けていきます。■ しかし最近は、ついにログインしにくくなってきたりと、正に排除されかかっているのかもしれません。■ （※更新できたので、まだ言論封殺は実行されず。）
