「格子点の個数」を求める問題は、今年の筑駒でも出題されています。
今回は2018年の学大附属の入試問題を題材とします。
実際の問題ではP,Qの座標はパラメータ表示して与えられてはいませんが、座標平面上の2動点を用いた定番の格子点問題です。
まずは、「動点問題での鉄則」通りに、2動点の座標をパラメータ表示して、順次解き進めていくことを出題者は求めている訳ですが、今回は純粋な整数問題とするために改題しました。
【問題】
P(6-t,11-2t/3),Q(t,-t/2)の2点の中点が格子点となるような整数tの値はいくつあるか？ただし、0≦t≦80とする。
【解説】
2点Ｐ，Ｑがパラメータ表示されているので、
中点の座標は(3,11/2-7t/12)
と求まります。
後は、このy座標が整数となるtを見つけるだけです。
しらみつぶしでも構いませんが、少しでも素早く見つけるべきです。
色々な方法がありますが、
「11/2からの減法で整数となる」
という観点から考えれば、
「tは6を奇数倍した数である」
と気付けるようになってください。
(「難しい」と感じる人は今のうちにじっくり考えてみてください。理由がわかるはずです。)
よって、
「6,18,30,…,78」
の7個が正解となります。
