回転体の体積の求め方 - 数学カフェjr.

グラフ上の平面図形を回転させてできる立体の問題も定番なので、今のうちから慣れておきましょう。
非常に便利な定理もありますが、まずは基本をしっかり押さえておくことが肝心です。

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【問題】
原点Oを通る放物線上の3点A(-1,1),B(2,4),C(1,1)。
（1）△OABを直線x=0を軸として1回転させてできる立体の体積は？
（2）△OABを直線ACを軸として1回転させてできる立体の体積は？

3点は、別に放物線上の点でなくてもいいのですが、放物線上の点として出題されることが多いです。
（傾きやｙ切片を簡単に求められるからですね。）

(答え; 82π/27,9π/2)

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【解答（1）】
まず、
直線ABとｙ軸との交点をD、
直線OBと直線CDの交点をE、
とおくと、
D(0,2),E(2/3,4/3)
となります。

直線x=0（ｙ軸）が回転軸ですから、
「△OBDの回転体」、
「△OADの回転体」
についてみていく必要があります。

どちらの回転体も他方に“のみこまれない”ので、若干面倒に感じるかもしれませんが、意外と簡単に求められてしまいます。

(△OBDの回転体)
=2×2×π×2×1/3
=8π/3
=U

(△OEDの回転体)
=2/3×2/3×π×2×1/3
=8π/27
=V

(△OCDの回転体)
=1×1×π×2×1/3
=2π/3
=W

∴(求める回転体の体積)
=U-V+W
=82π/27

【解答（2）】
まず、
直線OBと直線ACの交点をF、
とおくと、
F(1/2,1)
となります。

直線ACが回転軸ですから、
「△ABFの回転体」、
「△AOFの回転体」
についてみていく必要があります。

この場合は、「△AOFの回転体」が「△ABFの回転体」に“のみこまれる”ので、「△ABFの回転体」だけを考えればいいですね。

∴(求める回転体の体積)
=3×3×π×3/2×1/3
=9π/2