年頭ですので“西暦年数問題”からいきましょう。
前回の問題は少しイレギュラーな出題パターンでしたが、今回は“ド定番”パターンです。
まずは、西暦年数の「2020」と令和2年の元号年数「2」を用いた問題です。
【問題-1】
√(2020+2m)が整数となるような最小の自然数mを求めよ。
【解説-1】
まず、
(44の2乗)＜2020＜(45の2乗) (*1)
を把握した上で、
「√の中が(45の2乗)=2025」
では題意を満たすmは存在しないことがわかります。
そこで、“四角数の性質”を用いて、
「√の中が(46の2乗)=2116」
のとき題意を満たすとわかるので
∴最小の自然数m=48
では、次の問題を解く過程で、「“2020”問題」への基本対策を確認しておきましょう。
【問題-2】
「2020+(aの2乗)=4×(bの2乗)」
を満たす自然数(a,b)の組を全て求めよ。
簡単だと思いますので、サクッと解いてみましょう（解答は次回）。
(2020/1/4更新)
【解説-2】
まずは、
2020=2×2×5×101 (*2)
と素因数分解します。
また、不定方程式(2次)を
(2b-a)(2b+a)=2020
と定石通りに式変形します。
次に、題意より、
0＜2b-a＜2b+a
であることに留意すると、
「2b-a=2,2b+a=1010」
「2b-a=10,2b+a=202」
の場合のみ題意を満たしますね。
∴(a,b)=(504,253),(96,53)
(*1),(*2)を把握しておくと、入試の際の時間節約に役立つでしょう。
また、(*2)から、
“2020”の
「約数は3×2×2=12個」
「約数の和は
(1+2+4)(1+5)(1+101)=4284」
とわかることも確認しておきましょう。
