未知数が分母にくる不等式（2020東大寺学園）

不等式関連の内容が続いたので、ついでに解き方のテクニックの一つについて確認しておきましょう。

例えば、
「連立させた1次不等式」
は、数直線などを用いれば中学生でも扱えるはずですね。

しかし、
“未知数が分母にくるような不等式”
だと、どう扱っていいかわからなくなる人もいるかもしれません。

何も難しく考える必要はなく、例えば、
「a/x=b」
という方程式を解くとき、
「a=bx」
と変形して解くのと同様に考えればいいだけですね。

【問題】
nを3以上の自然数とする。
4/(√n-√2)の整数部分が2であるとき、nとして考えられる値を全て求めよ。
但し、正の数xの整数部分とは、x以下の整数のうち最大のものを表す。

（答え；8,9,10,11）

【解説】
まず題意より、
「2≦4/(√n-√2)＜3」
という不等式が立てられますね。

ここで、
「√n-√2＞0」
より、
「2(√n-√2)≦4＜3(√n-√2)」
と変形して、2つの不等式を連立させて解いても構いません。

しかし、知っておくと便利なのが、
“逆数をとる”
という手法です。

今回の場合は、全て正であることがわかっているので、
「1/3＜(√n-√2)/4≦1/2」
と“逆数をとって”不等式を立て直してしまいましょう。

×4して、
「4/3＜√n-√2≦2」

(-√2)を移項して、
「4/3+√2＜√n≦2+√2」

2乗して、
「(4/3+√2)(4/3+√2)＜n≦(2+√2)(2+√2)」

∴n=8,9,10,11

※【不等式において“逆数をとる”場合の注意点】
例えば、
「0＜a≦x＜b」
という不等式の逆数をとると、
「1/b＜1/x≦1/a」
となりますね。