「三角形の内・外接円」
に関する問題は定番中の定番ですね。
とは言え、通塾生などでないと、現段階では未習の場合が多いかもしれません。
そこで、何とか解けるであろう問題をやってみましょう。
【問題】
座標平面上に、
A(-1,2),B(1,-1),C(4,1)
の3点がある。
この3点を通る円の中心の座標を求めよ。
また、△ABCの内接円の半径を求めよ。
（答え；(3/2,3/2),√13-√26/2）
【解説】
しっかり段階を踏んで学んできた人ならば、
「2つの辺の垂直二等分線の交点」
として中心の座標を求めようとするかもしれません。
（※「3点を通る円の作図」で学びましたね。）
全くそれで間違いはないですし、一般的にはそうすべきでしょう。
しかし、まずは、
「座標平面上に3点をプロット」
してみてから方針を考えるようにしましょう。
つまり、
「△ABCがどんな三角形か」
を把握しておくのです。
すると、
「AB⊥BC,AB=BC」
がわかるはずです。
よって3点を通る円の中心（外心）は、
「線分ACの中点」
となるので、
∴(3/2,3/2)
このように、
「2つの直線の式」
を用いずに求められる場合もあることを頭に入れておきましょう。
「内接円の半径(r)」
を求める方法はいくつかありますが、現段階では、
「三角形の面積に着目する方法」
で考えるのが一番わかりやすいでしょう。
√13×√13×1/2=(AB+BC+CA)×r×1/2
より、
∴r=√13-√26/2
実際の入試の頃には、もっと楽な方法で求められるようになっているはずです。
