実際に都立西で出題された“未解決問題”に、小学生もチャレンジしてみましょう。
“未解決”と言っても、あることが
「全ての整数において成り立つかは未解決」
という意味なので、小学生でも身構えることなく十分取り組める内容です。
【問題】
「ある自然数aが
(1)偶数ならばaを2で割る
(2)奇数ならばaを3倍して1を加える」
という操作を自然数に繰り返して行い、初めて1になるまでの操作の回数をN(a)とする（但しN(1)=0）。
例えば、10に繰り返し操作を行う（a=10の場合）と、
10→5→16→8→4→2→1
となり、6回の操作で初めて1となるので、N(10)=6となる。
（問1）N(6)を求めよ。
（問2）N(a)=7となる自然数aを全て求めよ。
（問3）N(168)-N(8×k)=3を満たす自然数kを求めよ。
（答え；8,？,16）
【解説】
（問1）
6→3→10→5→16→8→4→2→1
∴N(6)=8
（問2）
逆算で考えていけばいいですね。
1←2←4←8←16←5←10←3
1←2←4←8←16←5←10←20
1←2←4←8←16←32←64←21
1←2←4←8←16←32←64←128
∴a=3,20,21,128
（問3）
まず、
168→84→42→21→64→32→16→8→4→2→1
より、
「N(168)=10」
となるので、
「N(8×k)=7」
とわかります。
ここで、
「8×k→4×k→2×k→k」
と、
「kになるまで3回の操作」
が必要なので、
「あと4回の操作で1」
となれば題意を満たしますね。
すると、これまでの経緯から、
「16→8→4→2→1」
という、
「最後の4回の操作の流れ」
は決まっていることがわかるので、
∴k=16
もしくは、（問2）の結果より、
「8の倍数」
を探せばk=16とわかりますね。
※なお、
（問1,3）が2020都立西の（問1,2）、
（問2）が2020愛知県立の問題でした。
