中・上位校合格をめざす受験生向けの、入試の「小問集合」によく出てくる「式の値」問題です。
サクッと解ききってほしいところですが、正解を導き出せなかったり、手さえ出せなかった場合は、その教訓を必ず本番にいかせるようにしておきましょう。
【問題】
(1) n×n-18n+72が素数となる自然数nを全て求めよ。
(2) x+1/x=3のとき、x×x-1/(x×x)の値を求めよ。
【解説】
いずれも、因数分解の知識を活用して解く問題ですね。
(1)
まずは、
「与式=(n-6)(n-12)」
と因数分解するんでしたね。
ここで予め言っておきますが、
「楽勝！n=13でしょ」
と答えているような人がもしいたとしたら、この問題を取り上げた甲斐があったことになります。
以前にも取り上げましたが、題意を満たすには、
「負×負=正」
の場合も検討する必要がありましたね。
∴n=5,13
(2)
これも、まずは、
「与式=(x+1/x)(x-1/x)」
と因数分解しておくべきでしたね。
ここで、
「(x+1/x)(x+1/x)=(x-1/x)(x-1/x)+4=9」
であることから、
「x-1/x=±√5」
とわかります。
※題意より、
「xは正」
だとわかりますが、だからといって
「x-1/x=√5」
とは限定できませんので注意しましょう。
∴与式=±3√5
（2021明大中野）
