小学生がよく「最小公約数？」や「最大公倍数？」などとやらかすアレです。
こういう場合は、
「暗記するのではなく意味を考えようね」
と言ってあげましょう。
「最大公約数（G.C.D.）」と「最小公倍数（L.C.M.）」に関する定番問題です。
前回の“互いに素”が正に鍵となってきます。
【問題】
G.C.D.が31である2つの自然数A,B（A＜B）がある。
(1) A×B=31713のときA,BのL.C.M.は？
(2) B=1116のときAのとりうる値の個数は？
G.C.D.とL.C.M.の意味・性質を、改めて再確認しておきましょう。
【解説】
まずは題意より、
「A=31a,B=31b」(*1)
とおけます。
このときに重要なのが
「aとbは“互いに素”（a＜b）」(*2)
となることです。
G.C.D.とは何か？を考えればわかりますね。
では、このA,BのL.C.M.はどうなるでしょうか？
31aと31bを連除法にかければわかりますね。
「A,BのL.C.M.は31ab」
となります。
ここでA,Bの積を考えてみましょう。
「A×B=31a×31b=31×31ab=G.C.D.×L.C.M.」(*3)
つまり
「(2数の積)=(最大公約数)×(最小公倍数)」★
となる訳です。
これらを踏まえて解いていきましょう。
(1)
A×B=31713=31×1023
よって(*3)より、
AとBのL.C.M.は1023。
( 2)
(*1)より、
B=1116=31×36よりb=36
あとは(*2)を用いてaを絞り込んでいくと、
a=1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35
よってAのとりうる値の個数は12個。
※注意してほしいのは、
a=25,35の場合を忘れないことです。
「b=36と互いに素」であればよいので、
“素数でない数”も該当しますね。
なお★のG.C.D.とL.C.M.の性質は、
特に上位校をめざす人には重要事項となります。
