「円と放物線」を絡めた定番問題も様々ありますが、今回はちょっと変わった趣向の問題です。
【問題】
図のように、放物線のグラフ上の点A(1,1)と原点Oを通る直線をlとする。
点Aを通り直線lに垂直な直線mと放物線との交点のうち、A以外の点をBとする。
点Bを通り直線mに垂直な直線nと放物線との交点のうち、B以外の点をCとする。
このとき、「3点O,A,Bを通る円P」の中心からの距離が最大となるような、「3点A,B,Cを通る円Q」上の点の座標を求めよ。
【解説】
まず、
「a=1,B(-2,4),C(3,9)」
より、
「円Pの中心P(-1,2)」
「円Qの中心Q(2,5)」
を求めます。
題意を満たす点は、
「直線PQと円Qとの交点」
のうち、
「x座標が点Qのx座標より大きい方」
となりますね。
ここで、
「直線PQの傾きは1」
で、
「円Qの半径はBC/2=√17」
であることから、求める点は
「点Qよりx,y両座標共に√34/2だけ大きい点」
とわかります。
∴(2+√34/2,5+√34/2)
高校生だと、「円の方程式」を使ってしまうかもしれませんが、上記のように解いた方が楽ですね。
