「円錐を平面上で転がす」出題パターンも、入試問題ではよく見受けられます。
【問題】
底面の半径1、母線の長さ√2の円錐を、
頂点Oを中心として、側面が平面上をすべらないように出発地点Aから転がし、
頂点Oのまわりをちょうど1周させる。
このとき、円錐の底面の円周が通過してできる曲面の面積は？
いわゆる「軌跡問題」ですが、わかることを論理的につなぎ合わせればイメージできるはずです。
【解説】
頂点Oから円錐底面の円周上の任意の点までの距離は√2ですね。
また、この円錐を
「頂点と底面の中心を含む平面で切断」
した切断面は、
「直角二等辺三角形」
となります。
とすると、
頂点Oから「“円錐の軌跡”としてできる立体」の曲面上の任意の点までの距離も√2ですね。
（曲面上に穴も開きませんね。）
ということは、
「円錐の軌跡としてできる立体」は“半球”
だとわかります。
∴4π×(√2の2乗)×1/2=4π
