今回の問題は、2019年の大阪教育大学附属(池田校舎)の入試問題を、そのままもってきたものです。
【解説】
(2)
まず、AC=yとおきます。
題意より、
「△PADは底角30゜の二等辺三角形」
となるので、
PA=PD=(√3)y,AD=3y
よって、
(√3)y+3y=6
∴y=3-√3
(3)
題意より、
∠CPA=∠CAP=a,
∠DPB=∠DBP=b
とおきます。
すると、△PCDの内角の和より、
2a+2b=90゜
また、題意より、
QA=QP=QB
は明らかなので、
「3点A,P,BはQを中心とする円周上の点」
とわかります。
よって、
「円Qにおける中心角・円周角」
の関係から、
∠AQB=2a+2b=90゜
ということは、
「△AQBは直角二等辺三角形」
とわかるので、
∴PQ=3√2
なお、
「∠CPDが一定の角度」
となるように線分AB上にC,Dをとるならば、
「PQの長さは一定」
となることを理解しておきましょう。
ここでは省略しますが、自分で導いておくと上位校の入試に役立つでしょう。
“動点・軌跡”問題でよく用いられる論理です。
また、
「(A,Q,D,P)および(B,Q,C,P)は各々共円」
であることもわかりますね。
