「姉貴、3次の不定方程式ってどう解けばいいの？」
「何次であろうと、整数の絞り込み方の基本は同じだよ。」
「定石のパターンに変形できないんだよなぁ」
「そこを、もっと柔軟に考えなきゃ！まぁ、頑張ってみなちゃいねぇ～」
高校入試においてはちょっと珍しい、“3次”の不定方程式です。
そのため、解の個数を提示することにより、多少なりとも時間短縮が図れるような設定になっています。
【問題】
を満たす正の整数(m,n)の組は2組ある。その2組を求めよ。
弟くんが言っているのは、
「因数分解した式=整数」
の形にもっていけないタイプの不定方程式だ、ということですね。
その定石の解き方を、柔軟に応用して考えてみましょう。
【解説】
“定石の形”には変形できないので、
と変形します。
これより、
「1≦＜505」
となる必要があるので、
「1≦m≦7」
とわかります。
後は、
「が平方数」
となる場合を2通り探せばいいですね。
∴(m,n)=(4,42),(6,34)
