これも「2021大学入学共通テスト」から、中学生に向けた出題です。
“判別式”を習っている中学生もいますが、一般的には発展事項に属する内容となります。
しかし本問題は、判別式という概念が未習であっても、よく考えれば解けるはずです。
しかも、高校生よりも中学生の方が正答を導きやすいのではないかと思い、取り上げてみました。
【問題】
xについての2次方程式
の解が異なる2つの有理数となるとき、自然数cは何通り考えられるか？
初見の人は、とりあえず解いてみましょう。
あまり言うとネタバレになってしまいますが、うっかりミスをしてしまう人が少なからずいそうな問題です。
なお、中学生も
「有理数」
という言葉は一応習っているはずですが、
「実数という数の世界で無理数ではない数」
ということだけ理解していれば、本問題は解けますね。
（※整数問題でよく用いられる“定義”まで理解している必要はありませんね。）
【解説】
“2次方程式の解の判別式”
とは、その解において
“√の中の数を表す式”
のことでしたね。
ここで、本問題の条件が、
「異なる2つの“実数解”」
ではないことに注意しなければいけません。
よって、
「判別式が正となる場合」
として解くのではなく、
「判別式が正の平方数となる場合」
として解かなければいけませんね。
よって、
「判別式=97-16c」
となるので、
「c=1,3,6」
の場合に題意を満たすので、
∴3通り
