つい先日実施された中学入試問題から、高校入試対策にも活用できるような問題について見てみましょう。
【問題-1】
“2021”は、各位の数の和（2+0+2+1）が5となる整数であるが、このような「各位の数の和が5」となる4桁の整数は全部で何個あるか？
また、その中で2021は、小さい方から数えて何番目の整数か？
【解説】
パッと解く方法を探すのではなく、
“場合分けして漏れなく数えあげられるか”
をポイントとすべき問題ですね。
“0を何個含むか”
で大別して考えるのがいいでしょう。
(1)「0を3個含む場合」;1個
(2)「0を2個含む場合」;12個
(3)「0を1個含む場合」;18個
(4)「0を含まない場合」;4個
∴全部で35個
次に「2021未満の整数」をチェックすると、
(1)なし
(2)4個（2003を忘れないこと）
(3)10個（2012を忘れないこと）
(4)3個
となるので、
∴2021は18番目の整数
※この問題の場合は“重複組み合わせ”の考え方ができると簡単に求められるのですが、様々なタイプの出題に対応できるように、この程度ならば漏れなくカウントできるような注意力は磨いておきしょう。
一応参考までに
5H3=35通り
5H2+2+1=18番目
→https://mcafejr2.hatenablog.com/entry/2021/03/29/103921
【問題-2】
Aは2桁の整数で、A×Aを15で割ると1余る。
このようなAは全部で何個あるか？
【解説】
これと似たような問題を以前取り上げましたね。
→「“2021”で割った余り」
https://mcafejr.hatenablog.com/entry/2021/01/13/000014
合同式で考えれば、
「A≡±1,±4(mod15)」
を満たす2桁の整数を考えればいいですね。
（※小学生は「負の数」は使えないので若干計算が面倒になりますが…）
各々6個ずつあるので、
∴24個
“15の剰余系”を用いて解く問題は、「大学入学共通テスト」でも出題されていたので、もしかしたらどこかの高校入試でも出題されるかもしれませんね。
