新年の一発目は、上位校でよく出題される“軌跡問題”でいきましょう。
実際の入試においては、誘導設問がいくつかあった後の最後の設問なのですが、これくらいのレベルの内容について、とりあえずば時間を無視してとことん考えてみましょう。
そうすることで、上位校合格へ向けて、今現在どのような力が足りていないのかがチェックできます。
【問題】
直線l上に2点A,Bがある。
点Bを通り直線lに垂直な線分BCがあり、AB=BC=1とする。
そして、直線l上を動く点Pに対し、線分CP上にCP×CQ=1となるような点Qをとる。
点Pが直線l上を点Aから点Bまで動いたとき、それに伴って点Qが動いてできた線分と線分AC,線分BCによって囲まれる図形の面積を求めよ。
一つヒントを与えるならば、
「AB=BC=1をうまく使え」
ということになります。
そして、
「CP×CQ=1」
がカギであることはわかると思います。
ここで、
「BC=1」
で固定されていますから、
「CP×CQ=BC」
と考えてみましょう。
【解説】
これを変形して、
「CP/1=BC/CQ」
つまり、
「PC/CB=BC/CQ」
と気づけると答えが見えてきますね。
実際の入試問題では、前段で
「△PCB∽△BCQ」
を証明させているので、かなり取り組みやすくなっていたはずです。
よって
「∠CBQは常に直角」
であることから、
「点Qの軌跡は半径1/2の1/4円弧」
とわかるので、
∴1/8+π/16
