ある大学入試問題なのですが、小学生でも解けるはずです。
小学生ならばそのまま解いていってもいいのですが、中学生以上ならばある法則を用いて臨んだ方が扱う数が小さくなることもあって、ミスを防ぎやすくなると思います。
それは「指数法則」です。
その本来的な恩恵は高校生にならないと受けられないのですが、中学生でも部分的に理解しておくだけでも意味はあると思います。
但し中学生の段階では、法則というか、計算を繰り返す中で体得しているであろう内容です。
今回の問題に関することで言えば、
「aのm乗×aのn乗=aの(m+n)乗」
というものです。
（※中学生ならば「a,m,nは自然数」ということにしておきましょう。）
なお、
「いかなる数の0乗=1」
となります。
（※あくまで計算ルールでしかないので「そうすると万事うまくいくから」と理解しておきましょう。）
【問題】
a,b,c,d,e,fはそれぞれ1,2,4のいずれかの値をとるとする。
(1)a×b×c=d×e×fを満たすような(a,b,c,d,e,f)の組は何通りあるか？
(2)a×b×c=4×d×e×fを満たすような(a,b,c,d,e,f)の組は何通りあるか？
【解説】
“積”の形よりも“和”の形の方が扱いやすいですし、ミスする確率も下がりますね。
ですから、指数法則を用いて考えましょう。
(1)
1=2の0乗
2=2の1乗
4=2の2乗
となるので、各辺の指数だけに着目すれば、
「0以上6以下」
となりますね。
後は、例えば「指数3」の場合、
「(1と1と1)→1通り、(0と1と2)→6通り」
の2組あり、両辺で考えれば、
「7×7=49通り」
…
というように、それぞれの組み合わせから攻めていってカウントしていけばいいですね。
∴141通り
(2)
同様に、各辺の指数だけに着目すれば、
「2以上8以下」
となりますね。
∴90通り
