“複合比”問題（2022渋谷教育学園幕張）

入試本番も間近に迫ってきたので、比を求める本格的な実践問題に取り組んでおきましょう。

 

今まで培った様々な知識を総動員させて、複合的に比を組み合わせて解く問題です。

 

“パッと見”だけでは筋道が見えてきにくいので、「いかに落ち着いて取り組むか」も大切な要素となるでしょう。

 

 

【問題】

△ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点P,Qがあり、PCとQBの交点をR、ARとPQの交点をMとする。

4点P,B,C,Qは同一円周上にあり、AP:AQ=3:4、PB:QC=2:1であるとき、次の比を求めよ。

(1)AP:PB

(2)PM:MQ

 

 

【解説】

(1)

題意より、

「AP=3k,AQ=4k(k＞0)」、

「PB=2m,QC=m(m＞0)」

とおくと、方べきの定理より、

「3k(3k+2m)=4k(4k+m)」

 

これを解いて、

「m/k=7/2」

 

∴AP:PB=3:7

 

 

(2)

(1)より、

「PQ:CB=2:5=PR:BR」

 

また、

「△PRB∽△QRC」

より

「PR:QR=2:1」

 

よって、

「BR:RQ=5:1」

 

これより、

「△APR:△AQR=5/6×3/10:1/6=3:2」

 

∴PM:MQ=△APR:△AQR=3:2