入試問題でも時々題材とされる立体です。
小学生でも、あるものに親しんでいると、イメージできると思います。
（見取り図は、「私立の入試問題」のようにワザと混乱させるように描いてあります。）
【問題】
ＡＢ=ＢＣ=ＢＤ=ＡＣ=ＡＤ,
∠ＣＡＤ=90゜
である四面体ABCDはどんな立体でしょうか？
正しくイメージできたら、
「ＡＢ=2のとき、この立体の体積は？」
という問題も、中3の秋頃には求められるようになるはずです。
四面体は“三角錐”なので、
「どこを底面とするとどこの長さが高さに相当するのか？」
ということだけでもイメージできるようになってほしいのですが・・。
まず、以下のような捉え方をしてしまう人は要注意です。
「∠ＣＡＤ=90゜」から、
「△ＡＢＣを三角錐の底面と考えるとＡＤの長さが高さに相当する」
立体をイメージするのが苦手な人がよくやる間違いですね。
改めて、
「直線と平面の直交条件」
を再確認しましょう。
【解答】
まず
「ＡＣ=ＡＤ, ∠ＣＡＤ=90゜」、
「△ＡＣＤ≡△ＢＣＤ(３辺相等)」
より、
「△ＡＣＤと△ＢＣＤは合同な直角二等辺三角形」 (★1)
とわかります。
次に、
「ＣＤの中点をＭ」
とすると、
ＡＭ:ＢＭ:ＡＢ=１:１:√２ (★2)
となることから、
「ＡＭ⊥ＣＤ，ＡＭ⊥ＢＭ」
つまり、
「△ＢＣＤを三角錐ＡＢＣＤの底面とするとＡＭの長さが高さに相当」
と導き出されます。
よって、「四面体ＡＢＣＤの体積」は
△ＢＣＤ×ＡＭ×１/３
=２×√２×１/３
=２√２/３
と求まる訳です。
(★2)や「四面体ＡＢＣＤの体積」のところは、
中３生でも未習の可能性が高いのでわからなくても構いません。
しかし、小学生以上ならば、
「(★1)とＡＢ=ＡＣ」から、
『この四面体は“正八面体の1/4”の立体』
ということだけはわかってほしいのです。
正多面体に慣れ親しんでいれば十分にイメージできるはずです。
せめて、「正四・六・八面体」については小学生のうちから親しんでおきましょう。
様々な入試問題において、題材とされることが多い立体であることは、言うまでもありませんね。。
