“動点”問題では、
「動点が3個以上」や、
「方向を変えたり止まったりの不規則な移動」、
「無限の移動における規則性」
などの様々な出題パターンが考えられ、入試においても頻出分野の一つです。
今回は「立体の辺上の2動点」を用いた標準問題でみていきましょう。
【問題】
AB=6,BC=8,CA=3,BE=12の三角柱ABC-DEFがある。
2動点P,Qは同時に出発し、辺上を下記のように動く。
(点P)B→Eを毎秒1の速さで動く
(点Q)C→F→Cを毎秒2の速さで動く
出発してからの時間をx秒(0≦x≦12)とする。
(1)線分PQが長方形BCFEの面積を2等分するときのxの値を全て求めよ。
(2)△DPQがDP=DQの二等辺三角形となるとき、線分PQの長さを求めよ。
ポイントは、各設問で「どのような条件式を立てるか」ですね。
【解説】
動点問題は、場合分けして考えるのが鉄則でしたね。
(1)
「面積を２等分する」
ということは、
「BP+CQ=12」
となればいいですね。
(0≦x≦6のとき)
x+2x=12よりx=4
(6≦x≦12のとき)
x+24-2x=12よりx=12
∴x=4,12
(2)
「DP=DQ」
ということは、
「DPの2乗=DQの2乗」
ですね。
直角三角形である△DEPと△DFQで三平方を用いて、
「DEの2乗+EPの2乗=DFの2乗+FQの2乗」
これを解いてx=9
（方程式は省略しますが、場合分けしても同じ方程式となります。）
これより、
∴PQ=√(3の2乗+8の2乗)=√73
